江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义.docx

专题三 解析几何江苏卷5年考情分析小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如2016年)，常与向量结合在一起命题.偶考点直线的方程、圆的方程第一讲 小题考法解析几何中的基本问题考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算. 题组练透1已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.答案：xy102(2018南通一模)已知圆C过点(2，)，且与直线xy30相切于点(0，)，则圆C的方程为_解析：设圆心为(a，b)，则解得a1，b0，r2.即所求圆的方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y243(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组，表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C(3r,0)，且它与直线xy30相切，所以r，解得r2，所以面积最大的圆C的标准方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y24方法技巧1求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.典例感悟典例(1)(2018无锡期末)过圆x2y216内一点P(2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，则四边形ACBD的面积为_(2)(2018南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2y24引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为_解析(1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得dr22，dr22，由于ABCD，故d1d2，且d1d2OP，所以2r2d16，得AB，从而四边形ACBD的面积为SABCD19.(2)法一：(几何法) 因为直线AB的方程为yx4，所以可设P(a，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程为x1xy1y4，PD的方程为x2xy2y4，将P(a，a4)分别代入PC，PD的方程，得则直线CD的方程为ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以直线CD过定点N(1,1)，又因为OMCD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)又因为以ON为直径的圆的方程为22，所以AM的最大值为3.法二：(参数法) 因为直线AB的方程为yx4，所以可设P(a，a4)，同法一可知直线CD的方程为ax(a4)y4，即a(xy)44y，得a.又因为O，P，M三点共线，所以ay(a4)x0，得a.因为a，所以点M的轨迹方程为22(除去原点)，所以AM的最大值为3.答案(1)19(2)3方法技巧解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系演练冲关1已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围是_解析：由题意知，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则PAQBAC60，从而MAQ30.因为MQ2，所以MA4.设A(x0,6x0)，则MA2(x01)2(6x01)216，解得1x05.答案：1,52(2018苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2(y1)2r2(r0)上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：(x2)2(y1)21上，则r的取值范围是_解析：设圆C1上存在点P(x0，y0)满足题意，点P关于直线xy0的对称点Q(y0，x0)，则故只需圆x2(y1)2r2与圆(x1)2(y2)21有交点即可，所以|r1|r1，解得1r1.答案：1，13在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2y22mx4ym2280内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为_. 解析：圆C的标准方程为(xm)2(y2)232，圆心为C(m,2)，半径为4，当ABC的面积的最大值为16时，ACB90，此时C到AB的距离为4，所以4CP4，即16(m3)2(02)232，解得2|m3|2，即m(32，3232，32)答案：(32，32 32，32)4(2018南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x4)2(ya)216上的两个动点，且AB2.若直线l：y2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为_解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB2，得CM，即点M的轨迹为(x04)2(y0a)25.又因为，所以，即(x0x，y0y)，从而则动点P的轨迹方程为(x2)225，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则，解得a2或a18.法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d，则AB中点M的轨迹方程为(x4)2(ya)25.由，得2，所以.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN2CM2.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN2，所以点C到直线l的距离为2，解得a2或a18.答案：2或18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.题组练透1(2018南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y28x的焦点，则点F到双曲线1的渐近线的距离为_解析：抛物线的焦点F(2,0)，双曲线的渐近线方程为yx，不妨取yx，即3x4y0，所以焦点F到渐近线的距离为.答案：2(2018苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以(c，b)，(a，b)，因为B2FAB1，所以0，即b2ac，所以c2aca20，e2e10，又椭圆的离心率e(0,1)，所以e.答案：3(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线x与两条渐近线yx的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|PQ|42.答案：24(2018常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：xy10与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是_解析：双曲线的渐近线分别为yx，yx，依题意有1，即ba，e1，所以e的取值范围是(1，)答案：(1，)方法技巧应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围 必备知能自主补缺(一) 主干知识要记牢1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直线与圆相交(1)几何法由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数法设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1x2和x1x2，则|MN|.3判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(Rr)的关系来判断两圆位置关系(1)外离：O1O2Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：RrO1O2Rr；(4)内切：O1O2Rr；(5)内含：0O1O20，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系(二) 二级结论要用好1过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.2.过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC；(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；(3)cossin；(4)直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线AB的方程为x0xy0yr2.3椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)(1)三角形的三个边长是PF1aex0，PF2aex0，|F1F2|2c，e为椭圆的离心率(2)如果PF1F2中F1PF2，则这个三角形的面积SPF1F2c|y0|b2tan .(3)椭圆的离心率e.4双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线1(a0，b0)上的点，PF1F2为焦点三角形(1)面积公式Sc|y0|r1r2sin (其中PF1r1，PF2r2，F1PF2)(2)焦半径若P在右支上，PF1ex0a，PF2ex0a；若P在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5抛物线y22px(p0)焦点弦AB的3个结论(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)ABxAxBp.课时达标训练A组抓牢中档小题1若直线l1：mxy80与l2：4x(m5)y2m0垂直，则m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2018镇江期末)已知双曲线y21的左焦点与抛物线y212x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为_解析：因为抛物线的焦点为(3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a2918，所以双曲线的右准线方程为x.答案：x4已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为yk(x1)2，即kxyk20.因为SABCCACBsinACB1，所以sinACB1，所以sinACB1，即ACB90，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以1，解得k，所以直线方程为3x4y50；当直线斜率不存在时，直线方程为x1，经检验符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4 ，则C的方程为_解析：因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.答案：1 6(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x2)2(y2)21上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kxy30上，则实数k的最小值为_解析：圆(x2)2(y2)21关于x轴的对称圆的方程为(x2)2(y2)21，由题意得，圆心(2，2)到直线kxy30的距离d1，解得k0，所以实数k的最小值为.答案：7已知以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e_.解析：因为圆的半径rc，在RtF1F2M中，|F1F2|2c，|F2M|c，|F1M|c，所以2a|F1M|F2M|(1)c，离心率e1.答案：18(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是_解析：由题意知ABC为等腰直角三角形，且ACBC4，AB4，圆心C到直线axy20的距离d2，2，解得a1.答案：19(2018扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2y26y50没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：由圆x2y26y50，得圆的标准方程为x2(y3)24，所以圆心C(0,3)，半径r2.因为双曲线1(a0，b0)的渐近线bxay0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即2，即3a2c，即e1，故双曲线离心率的取值范围是.答案：10在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是_解析：设PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，所以sin ，所以PQ.答案：11(2018南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x21(b0) 的两条渐近线与圆O：x2y22的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为_解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为ybx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则解得m2，而矩形ABCD的面积为2m2n4mn4bm2b，解得b. 答案：12(2018苏锡常镇调研)已知直线l：xy20与x轴交于点A，点P在直线l上圆C：(x2)2y22上有且仅有一个点B满足ABBP，则点P的横坐标的取值集合为_解析：法一：由ABBP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切由题意得A(2,0)，C(2,0)若圆D与圆C外切，则DCDA；若圆D与圆C内切，则DADC.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线1上，即14x22y27.又点D在直线l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由题意可得A(2,0)，设P(a，a2)，则AP的中点M，AP，故以AP为直径的圆M的方程为222.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故 ，解得a或a5.故点P的横坐标的取值集合为.答案：13已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于A，B两点若FAB的周长最大时，FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_解析：设直线xm与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知FAB的周长为2(FAAH)2(2aF1AAH)，因为F1AAH，故当F1AAH时，FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，所以FAB的面积为2c，由条件得2cab，即b2c22bc，bc，从而椭圆的离心率为e.答案：14已知A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，则|的取值范围为_解析：因为A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，所以线段AB的中点H在圆O：x2y2上，且|2|.因为点P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，所以5|5，即|，所以72|13，从而|的取值范围是7,13答案：7,13B组力争难度小题1已知点P是圆C：x2y24x6y30上的一点，直线l：3x4y50.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有_个解析：由题意知圆C的标准方程为(x2)2(y3)216，所以圆心(2,3)到直线l的距离d(4,5)，故满足题意的点P有2个答案：22(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，则圆心A到此渐近线