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文档简介
第七章 无穷级数,无穷级数是高等数学的一个重要内容，无论在数学理论本身还是在实际中的应用都是一个非常有利的工具.本章主要研究常数项级数的概念及其收敛准则，然后讨论函数项级数，主要讨论幂级数以及如何将函数展开成幂级数的问题.,7.1 常数项级数的概念和性质,7.2 常数项级数的审敛法,7.3 幂级数,7.4 函数展开成幂级数,第七章,小结,级数的概念,级数的基本性质,问题的提出,7.1 常数项级数的概念,第七章 无穷级数,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,定义1：,一、级数的定义,定义2：,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,并称 S 为级数的和,定义3：,证明：,显然：,因此级数是发散的。,级数得部分和为：,证明：,矛盾，故假设不成立因此级数是发散的。,假设级数收敛，其和为S，则有：,调和级数是发散的。,则有：,但有：,解,因为,从而,拆项相消法。,解,判别 级数的敛散性:,解:,所以级数发散,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,例. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,解,结论: 乘上一个不为零的数不改变级数的敛散性.,结论: 收敛级数的和（或差）仍然收敛.,1,2,三、基本性质,解,1.若级数 收敛，而级数 发散,则，级数 一定发散,注意,2.若级数 发散，而级数 发散,则，级数 可能收敛也可能发散,例如:,证明,级数的收敛性与它的项数无关. 或： 在级数的前面加上或去掉有限项，收敛性不变。,3,结论,证明,4,结论：收敛级数满足结合律 或:收敛级数的各项可以任意组合（顺序不变）. 其和不变,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,注意,推论,判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,证明,（级数收敛的必要条件）,5,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,注意,1,2,如果级数的一般项趋于零,则级数不一定收敛,判别收敛性：,解,解,判别收敛性：,解,一 写出下列级数的通项,二 利用级数的基本性质,判别级数的敛散性,三 判别级数的敛散性,(1),(2),(1),(1),(2),(2),一 (1),(2),二
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