微积分B2知识点.doc

微积分B2复习要点一 题型 1.填空题( 37=21分)； 2.单项选择题(36=18分)； 3.计算题(51分)； 4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点，半径为R的球面方程例 平面直角坐标系中 的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 的图形是 圆柱面 。例 XOZ面上绕x轴旋转一周后的旋转体方程为 。第八章 多元函数微分学 1.二元函数的定义域；例1 求函数的定义域. 解 要使有意义, 应有, 即.故 例2 求的定义域. 解 要使有意义, 应有,故 .例3 求函数的定义域。解 要使有意义, 应有, 即 ,故 2.二元函数的极限的计算； 定义 如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当时，恒成立，则称当趋于时，函数以A为极限。记作 或 例 求 解 当时，由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以3.多元函数偏导数计算；（1）一阶偏导数的计算；（2）全微分的计算；概念：函数的全微分为例求函数的全微分解因为，所以（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设，若在点处偏导数存在，而在对应点处可微，则复合函数在点处可导，且 例已知，求解由链式法则有用同样的方法，可得（4）隐函数的偏导数的计算；例：设是由方程确定的隐函数，试求（5）抽象函数求导例 求复合函数的一阶偏导数和。解 令，则变为，复合而成的复合函数。练习：设，具有一阶连续偏导数，求6.可微、偏导、连续的关系; 7.多元函数极值的计算。概念：设函数在点的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于的点,有(或),则称为函数的一个极大值(或极小值).例；求函数的极值。 解：解，得。 而 对，知 为极小值点。且极小值为-2。第九章 二重积分 1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1），其中由所围成（2）求是由直线与曲线所围成（3）计算，其中由曲线及所围成解 画出积分区域的图形 积分区域的不等式组表示为 ，所以（4）(5) 2. 交换积分次序；例 交换二重积分的积分次序。解：由二次积分的上、下限知积分D的图形是与在之间的部分，则 若先对后对积分，此时积分区域可表示为 因此，我们可以交换积分次序= 例（1） (2) +3.二重积分的性质与应用。例 设D由所围成，求平面图形D的面积。第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程 (1)称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数及其导数是一次方程)当时，方程(1)为齐次的，当不恒等于零时，方程(1)为非齐次的 (2)称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型 . 例 求方程的通解分析 (常数变易法)这是的一阶非齐次线性方程它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解,用常数变易法，把换成，即令,代入所给非齐次方程，有,于是,解法二 (公式法)直接由给出，其中2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 中为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程，并求解出特征根（2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的（4）将代入到通解里去，得到题目要求的特解。例题：求微分方程满足初始条件，的特解。解： 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为 （1）从而 （2）将初始条件，代入（1）、（2）得：，从而所以，原微分方程的特解为例题：求方程满足初始条件：的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：即为重根(1) 再对(1)的两边关于t求导:(2)把代入(1)的把代入(2)得，为所求例题： 求微分方程：通解解 所给方程的特征方程为：为一对共轭复根(这里)3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型1：令 则 ，于是可将其化成一阶微分方程。特点 含有，不含。例 求微分方程满足初始条件的特解。解 所给方程是型的。设，代入方程并分离变量后，有。两端积分，得，即 。又由条件，得，于是所求得特解为 。类型2：令 则 ，于是可将其化为一阶微分方程。特点 不显含。例 解微分方程满足初始条件，的特解。解 令，将代入原方程中得 分离变量并积分得 由初始条件，得，所以 则 ，即 分离变量并积分得 再由初始条件，得，所以方程满足初始条件的特解为 .第十一章 无穷级数 1. 级数的性质；2. 会判断级数(正项级数；交错级数；任意项级数)的敛散性3. 幂级数的收敛半径、收敛区间的计算；4. 函数展开成幂级数。5. 常见级数的敛散性(几何级数、p级数、调和级数等)例 （1）判断下列级数的敛散性： （2）讨论级数，是绝对收敛还是条件收敛（3）将函数在处展开，并指明其收敛域（4）幂级数的收敛区间 请老师将“高数竞赛的试场”通知到相关学生，具体谁通知哪些学生，请见附件，大家看了附件就明白了，若不明白就call戴绍虞。 注意：不上高数、微积分的课程的老师也有部分要负责通知学生。请务必通知到学生。 附件的表已按“负责通知学生的老师”归类了。 考试时间虽然之前的通知已有，但老师在通知的时候最好再提醒学生一下考试时间：2013年5月29日14：00-16：00下周三参加高