3.1.1两角差的余弦公式(教、学案).doc

3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析两角差的余弦公式是人教a版高中数学必修4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。难点 探索过程的组织和引导。四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角的正弦余弦值来表示，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距六、课前准备1.学生准备：预习两角差的余弦公式，理解两种方法的推理过程。2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教学过程（一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的c点处往该点正对的地面上的a点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，（2）设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。（二）、研探新知1.三角函数线法：问：怎样作出角、的终边。怎样作出角的余弦线om怎样利用几何直观寻找om的表示式。设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。（1） 设角终边与单位圆地交点为p1，。（2） 过点p作pmx轴于点m，那么om就是 的余弦线。（3） 过点p作paop1于a，过点a作abx轴于b，过点p作pcab于c那么 oa表示 ，ap 表示，并且于是 om=ob+bm =ob+cp =oa+ap = 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：、都是锐角，且2.向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。如图,建立单位圆o由向量数量积的概念,有aobxy 由向量数量积的坐标表示,有因为 、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个，使得 。 于是对于任意角、都有 例1. 利用差角余弦公式求的值 （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解法1：解法2：变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）； （2） （让学生联系公式和本题的条件，考虑清楚要计算，应作那些准备。） 解：由，得又由，是第三象限角，得所以让学生结合公式，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。变式训练：（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.2.求值 3化简 提示：利用拆角思想的变换技巧（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本习题2.3.4(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)九、板书设计两角差的余弦公式1.三角函数线法 2.向量法例1 变式训练 例2 变式训练当堂训练1. 2.3. 4.十、教学反思本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计(见下页) 临清三中数学组 编写人：赵娜 审稿人： 刘桂江 李怀奎3.1.1两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标预习两角差的余弦公式，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。二、 预习内容阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：1. 如何用任意角的正弦余弦值来表示；2. 如何求出的值;3. 会求的值吗？三、 提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习内容通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。二、 学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，（2）探究二：两角差的余弦公式的推导1.三角函数线法：问：怎样作出角、的终边。怎样作出角的余弦线om怎样利用几何直观寻找om的表示式。2.向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。 例题整理例1. 利用差角余弦公式求的值 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）； （2）变式训练：。三、 反思总结本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.四、 当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求2.求值 3化简 课后练习与提高一、选择题1. 的值为 （ ）a. b. c. d. 2. 的值为 （ ）a. b. c. d .3.已知，则的值等于（ ）a. b. c. d. 二、填空题4.化简= 5.若，则= 三、解答题、6.已知，求的值. 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。二、教学目标掌握两角和与差公式的推导过程；培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变asinabcosa为一个角的三角函数的形式。四、学情分析 五、教学方法1温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：；这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意：（二）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因为是第四象限角，得， ，于是有 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、；（2）、；（3）、例3、化简解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.（三）反思总结，当堂检测。本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（四）发导学案、布置预习。设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计十、教学反思注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!十一、学案设计(见下页) 临清三中数学组 编写人：管瑞臣 审稿人：刘桂江 李怀奎3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课前预习学案一、预习目标1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；二、预习内容1、在一般情况下sin(+)sin+sin,cos(+)cos+cos. 2、已知，那么( )a、 b、 c、 d、3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan()= 可变形为：tantan=tan()(1tantan);tantan=1-,4、又如：asin+bcos= (sincos+cossin)= sin(+),其中tan=等，有时能收到事半功倍之效. =_.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。学习重难点：1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.二、学习过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：动手完成两角和与差正弦和正切公式.观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意：（二）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、例3、化简 （三）反思总结 (四)当堂检测(a)(b)(c)(d)(a)(b)(d)(a)(b)(c)(d)参考答案1、 2、c 3、a 4、 5、1 6、 课后练习与提高1. 已知求的值（ ）2. 若3、函数的最小正周期是_.4、为第二象限角， 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，；我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例题讲解例1、已知求的值解：由得又因为于是；例、已知求的值解：，由此得解得或（四）课堂练习：详见学案（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 临清三中数学组 编写人：张光福 审稿人： 刘桂江 李怀奎3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课前预习学案一、预习目标复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫。二、预习内容 请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式： ； ； 。三、提出疑惑我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可）。课内探究学案一、公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？