数学分析中极限求法探究学年论文.doc

学 年 论 文题 目： 数学分析中极限求法探究 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 马建芳 学 号： 201071010243 指导教师： 杨 荣 。- 17 -数学分析中极限求法探究马建芳西北师范大学 数学与统计学院 甘肃兰州 730070【摘要】极限一直是数学分析中的一个重点内容，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨，总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以解析，本文通过总结，研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具有针对性，技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余。【关键字】极限 夹逼准则 单调有界 诺必达法则 微分中值定理【abstract】limit has been a focus in mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit method are crucial. this paper mainly discusses the general methods, limit and added a special method of integral limit the convergence of the series and use, and the characteristics of each method and the matters needing attention in detail explained, and examples analysis, this paper summarizes, research on various methods for the limit of the many details for a specific note, make the method more targeted, skills, therefore, had overcome the problem can not start, can do a job with skill and ease.【keywords】limit； squeeze rule； monotone bounded； padiar rule；the differential mean value theorem；一、 极限的定义性质及作用学习数学分析，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性，因为代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念，在“极限”定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说它的极限为该数，这样的定义还算比较完整，给出了正确推论的可能。数列极限的标准定义（数列极限的定义）：设为数列，为实数，若对任意的给定的正数，总存在正整数,使得当时有 则称数列收敛于数，定数称为数列的极限，并记作或，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.注：关于数列极限的定义应注意下面几点：1. 的任意性 上述定义中正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明与可以接近到任何程度。然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出.2. 的相应性 一般说，随的变大而变小，因此常把写作，来强调是依赖于的，但这并不意味着是由所唯一确定的，这里重要的是的存在性，而不在于它的值的大小。3从几何意义上看，“当时有”意味着：所有下标大于的项都落在邻域内，而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）。函数极限的标准定义： (1) 趋于时函数的极限设为定义在上的函数，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时，有则称函数当趋于时以为极限，记作或.(2) 趋于时函数的极限(函数极限的定义)设函数在点的某个空心邻域 内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当 时有则称函数当趋于时以为极限，记作或二、求极限的方法 1. 极限定义求法利用定义法求极限的关键是：将通项化为一个常数与一个含的无穷小之和，从而得到，并借此找到.例1 证明，这里为正数。证明：由于，若对任给，只要取,则当时，便有 ，即，这就证明了.例2 按极限的定义证明极限 证明：，限制，则.于是，对任意给定的，只要取，则当时，有.故.2. 利用极限的四则运算求极限数列极限的四则运算法则若与为收敛数列，也都是收敛数列，且有特别当为常数时有 ，函数极限的四则运算法则若极限和都存在，则函数， 当时也存在且 又若，则在时也存在，且有通常在这一类题型中，一般都含有未定式，不能直接进行极限的四则运算，首先对函数进行各种恒等变形。例如分子，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和(或积)为有限项。例3 求，其中.解：若，则显然有； 若，则由得；若，则.例4 求 的极限解：= 由于 故 又故3. 利用迫敛性求数列极限 数列迫敛性定理：设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数,当时有 ，则数列收敛，且. 函数迫敛性定理：设，且在某内有 则 例5 求数列的极限解：记，这里，则有 由上式得，从而有 . (1)数列是收敛于1的，因对任给的，取,则当时有.于是，不等式(1)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛性证得.例6 利用迫敛性求极限 解：因为，所以当时 ， 又因为由迫敛性得4. 利用两个重要极限求极限 两个重要极限是：和.其中的扩展形式为：令，当或时，则有或的扩展形式为：.事实上，令.所以.第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式，只有形式符合或经过转化后符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例7 求极限解： 所以=例8 求 的极限解： 注：第二个重要性极限主要搞清楚凑得步骤：先凑出1，在凑，最后凑指数部分。5. 利用无穷小量的性质求函数极限无穷小量定义：设在某内有定义.若则称为当时的无穷小量。由无穷小量的定义可以推得如下性质：(1) 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.(2) 无穷小量与有界量的乘机为无穷小量.例9 求的极限 解：分析：设，当时，为无穷小量，由于，所以，是有界函数，利用无穷小量的性质可求得该函数有极限。 = 06. 利用等价无穷小量替换求函数的极限若 ，则称与是当时的等价无穷小量，记作.定理3.12 设函数，在内有定义，且有.(1) 若，则.(2) 若，则.例10 利用等价无穷小量代换求极限 . 解：由于，而，故有 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所有求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意替代。7. 利用诺必达法则求极限 利用诺必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。1. 型不定式极限 定理1 若函数和满足：(1) ;(2) 在点的某空心邻域内两者都可导，且；(3) (可为实数，也可为或)，则 2. 型不定时极限定理2 若函数和满足：(1) ; (2) 在的某右邻域内两者都可导，且； (3) (可为实数，也可为或)， 则 例 11 求 解：这是型不定式极限，可直接运用诺必达法则求解，但若作适当变换，在计算上方便些，为此，令，当时有，于是有例12 求解：注：(1)若不存在，并不能说明不存在。(2)不能对任何比式极限都按诺必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足诺必达法则的其他条件。(3)其他类型的不定式极限还有，等，这些类型经过简单的变换，都可以化为型和型的不定式极限。8. 利用定积分求极限定积分定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称函数在区间上可积或黎曼可积；数j称为在 上的定积分或黎曼积分，记作.例 13 用定积分求极限 解：原式= = = = = 分析：上述解法是构造法。用逆向思维的方法，将数列和转化为黎曼和的形式，从而构造出函数，将求极限的问题转化为上的函数的定积分问题，关键技巧有两方面：提取因子；变形后和式联想定积分定义，构造出函数.9.利用泰勒公式极限 常用的泰勒公式有：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;这种方法是利用泰勒公式将函数展开后直接带入或经过转化后带入要求的极限式中，使得原来的极限问题转化为多项式或有理分式的极限。例14 求极限 解：本题可用诺必达法则求解，但是较繁琐，在这里可以应用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们可用麦克劳林公式表示极限的分子（取）则 因而求得 10. 利用导数的定义求极限导数的定义：设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数函数在点处的导数。在该方法的运用过程中，首先要选好，然后把所求的极限表示成在定点的导数.例 15 证明：若存在，则证明：= = = = 11. 利用单调有界准则求极限单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且唯一。例 16 证明数列收敛，并求其极限。证明：记 ，易见数列是递增的。 现用数学归纳法证明有上界.显然，假设，则有，从而对一切有，即有上界.由单调有界定理，数列有极限，记为，由于，对上式两边取极限得，即有，解得或.由数列极限的保不等式性，是不可能的，故有.注：利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。12. 利用函数的连续性求极限函数连续的定义：若对任给的，存在，使得当时有则称函数在点连续.由上述定义，我们可以得出函数在点有极限与在点连续之间的关系，因此，可以利用函数的连续性求极限。例 17 求极限解：由于及函数在处连续，故13.利用微分中值定理求极限微分中值定理：若函数满足如下条件：(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得例18 求极限解： 14.利用积分中值定理求极限积分中值定理：若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得 例19 求极限 解： 15.利用单侧极限求极限形如：(1) 求含的函数趋向于无穷的极限，或求含的函数趋于0的极限；(2) 求含取整函数的函数极限；(3) 分段函数在分段点处的极限；(4) 含偶次方根的函数以及或的函数，趋向于无穷的极限.这种方法还能用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则不存在。例 20 设 ， 求它在处的左极限，而它在处的右极限存在吗？ 解：(1) ,由于，故 (2)右极限不存在，因为若存在右极限,则，故对某，使得只要，必有，然而由于是振幅为1的振荡函数，对于，不妨设，则必存在，使得，则，因而在处的右极限不存在。 参考文献：1 华东师范大学数学系编. 数学分析，第三版.2 华东师大 .数学分析全程导学及习题全解， 第三版.2 许