chapt4-3协方差和相关系数.ppt

第三节 协方差和相关系数,一.协方差,二.相关系数,三.标准化随机变量,1.定义 设(X,Y)是二维随机变量，称量 EXE(X)YE(Y) 为随机变量X和Y的协方差，记作cov(X,Y)，即 cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),一.协方差 P116,上节课方差性质3证明中,2.计算公式,证明：,由数学期望性质可知：,若X和Y相互独立，则 cov(X,Y)=0,所以,3.性质 P117,cov(X,Y)= cov(Y,X).,cov( aX ,bY)= a b cov(X,Y ),其中a,b是常数.,cov(X1+X2,Y)= cov(X1 ,Y) +cov(X2,Y),cov(X,X)= D(X),由方差性质3的推导过程和协方差性质可知：,性质1,性质2,性质3,注:,若X和Y相互独立，则 cov(X,Y)=0,性质4,1.标准化随机变量,设X是随机变量，称,为标准化随机变量.,显然：,1. E(X*)=0，D(X*)=1,(定义为相关系数),二.相关系数 P117,设(X,Y)是二维随机变量，当D(X)0, D(Y)0时，称量,为随机变量X和Y的相关系数或标准协方差，记作XY，即,.定义 P117,3.性质,性质1,| XY|1,性质2,|XY|=1的充要条件为存在常数a，b，使得,PY=aX+b=1成立，即X与Y以概率1线性相关.,称X和Y不相关,性质3,若X和Y相互独立，则X和Y不相关.,证明：,由X和Y相互独立得：,cov(X,Y)=0,从而得,即X和Y不相关.,X和Y不相关,不一定X和Y相互独立.,注：,例1（作业13）设随机变量Z的分布律为：,且设X=sinZ, Y=cosZ, 试验证X和Y是不相关的， 但X和Y不是相互独立的.,解：,X, Y, XY的分布律分别为,则 E(X)=0,E(Y)=0.4,E(XY)=0,所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,X和Y是不相关的,X和Y的联合分布律为,显然,所以X和Y不是相互独立的.,例 设（X，Y）的概率密度为,试判断X和Y是否不相关，是否相互独立.,解：,所以,所以，X和Y不相关,因为,所以X和Y不相互独立,即X和Y不相关，但X和Y不相互独立,注：,下列5个命题是等价的：,例2.设,求,解：,求 cov (X ,Y ), XY,例3.已知 X ,Y 的联合分布律为,0 p 1 p + q = 1,解：,解：,又,若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ), 则,例5（P121例2）,例6.设 ( X ,Y ) N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = X + Y ,求 XZ,解：,第四章 小 结,1. 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差,2 .要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差,3. 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。,4. 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。,5 .要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等 价性。,练习,1.设X的概率密度函数,则,2.设二维随机变量,，,则,4.设随机变量X和Y相互