北大附中高考数学专题复习极限选择题训练辨析题训练计算题训练证明题训练.docx

学科：数学教学内容：极限选择题训练 辨析题训练 计算题训练 证明题训练一、选择题1下列数列极限存在的有（ ）a10，10，10，2下列数列收敛的有（ ）a.0.9,0.99,0.999,0.9999,3下列数收敛于0有（ ）4数列与的极限分别为a与b，ab，则数列的极限为（ ）aabbca+bd不存在a可能收敛b一定收敛c可能发散d一定发散a充要条件b充分条件c必要条件d无关条件7下列极限存在的有（ ）8下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）9下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（ ）任意函数b无穷小量c有界函数d无穷大量11下列极限正确的是（ ）a1b0c2必要条件b充分条件c充分必要条件d无关的条件a连续函数b是有界函数c有最大值与最小值d有最大值无最小值二、辨析题1如果n无限增大时，数列越来越接近常数a，那么是否一定收敛于a？2设在常数a的无论怎样小的邻域内都密集着数列的无穷多个点，那么是否一定收敛于a？3有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？4单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？5如果数列和都发散，问和是否一定发散？6如果收敛、发散，问的收敛与发散情况能否确定？7设，在求时，有人求解如下：设对等式，两边取极限，得a=1+2a，于是a=-1所以有人指出，这个结果是错误的因为，故不可能的请判断此题解法是否正确若不正确，请指出错在哪里？8若且当时，g(x)有界，则，这一结论正确吗？为什么？三、计算题四、证明题1根据数列极限的定义证明2证明当x0时函数f(x)=|x|的极限为零3根据极限定义证明：当时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。参考答案一、选择题1a，b，d 2a，d 3a，b，c，d 4d 5d 6d 7a 8a，d 9a，b，c，d 10b，c 11b，c，d 12d 13c 14a 15a，b，d二、辨析题1不一定收敛于a，问题主要发生在只说越来越接近常数a，并没说明这种接近的程度如何如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与a构成收敛的关系，只有当说越来越无限接近常数a时，才表明是收敛于a的例如取，a=-1，随着n无限增加，越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于的差异，-1并不能说成是当n时的极限2不一定收敛于a因为极限定义中要求对于a的无论怎样小的邻域，都存在正整数，当nn时，将全部落入a的该邻域内这里只说有无穷多个中的点落入该邻域尚不能保证中当nn后的全部的点均落入该邻域例如则零的无论怎样小的邻域内都密集着的无穷多个点，但却是发散点3有界数列不一定收敛例如，它为有界数列，但它却是发散的无界数列是一定发散的因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的4单调数列不一定收敛例如取，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的摆动数列不一定是发散的例如取是摆动数列，但它收敛于零5均不一定发散例如当时，它是收敛的，并且也是收敛的当时，它是收敛的6是一定发散的因为如果收敛，而，则为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因发散，因此也发散，而，如果收敛，可得收敛，从而也收敛，这与已知矛盾是收敛性不确定例如取，则收敛又如取，则发散但当已知时,可知发散否则,因由商的极限法则可得出收敛的结论,这与已知矛盾7.错在“设”因为的极限存在与否尚没指明时，先承认它是收敛的，这是不允许的即对的理解应为它表示收敛且以a为极限本题中的其实是发散的，如果按趋向方式来说，它是趋向于+的即可以将+作为极限记号使用时，得出a=1+2a还是正确的因为它是含+的一种记号形式但这样做也推不出a=-1的结论8不正确因若g(x)0，f(x)=x时，则得不出f(x)0(x)的结论三、计算题6015 解法与上题同16因为x0时，为无穷小量，而为有界变量，所以170 解法与上题同251292 解法与上题同，先分母有理化。302 提示：先分子有理化32133原式=（分子、分母同除以）=340 提示：用无穷小量乘有界变量法四、证明题1（1）要使，只须即，于是对于任意的0，取，于是对任意给定的0，取，只要nn,就有，所以（2），要使，只须于是对任意给定的0，取，只要nn，就有，所以（3）要使只要，于是对任意给定的0，取，只要nn，就有所以（4），要使，只要，即，于是对任意给定的0（n，就有，所以（5）与前面（1）（4）题证法相同2要使|x|-0|=|x|=|x-0|0，存在=，只要0|x-0|，就有|x|-0|0，存在0，只要，就有特别地，在时，有；同样地，在，有充分性：若则对任意给定的0，存在，只要，就有，存在，只要，就有，取，只要，就有学科：数学教学内容：极限判断题训练和填空题训练一、判断题1有界数列必有极限（）2单调数列必有极限（）3无穷大量必是无界数列（）4无界数列必是无穷大量（）5若数列与数列的极限均不存在，则它们的和与积的极限必不存在（）6若数列的极限存在，则数列与的极限必存在 （）10两个无穷大量之和的极限仍是无穷大（）11无穷大量与无穷小量的和、差仍是无穷大量 （）12无穷多个无穷小量之和仍是无穷小量 （）13无穷小量是一个很小很小的数 （）14无穷大量是一个很大很大的数 （）17(“”表示“对于任意给定的”)存在n=n()0，当nn时，使得以后的无穷多项都落在开区间(a-，a+)内，则 （）21某变量在变化过程中，就其绝对值而言，越变越小，则该变量必是无穷小量 （）22某变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则该变量必是无穷小量 （）23两个非无穷小量之和，一定不是无穷小量 （）24两个非无穷小量之积，一定不是无穷小量 （）25在某变化过程中，若与极限，则在该过程中，必无极限（） 26在某变化过程中，若有极限，无极限，则在该过程中，必无极限 （）30若f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在该区间内必取得最大值和最小值 （）31在闭区间上连续的函数，在该区间上定能取到最大值或最小值 （）32设函数f(x)在a，b上连续，f(x)0，则在a,b上存在最大值和最小值 （）二、填空题12设,则参考答案一、判断题1否比如数列是有界的，但它无极限2否比如数列n是单调的，但无极限3是由无穷大量的定义知，对于任意正数m，总存在正整数n，使当nn时，恒有成立，而恰好说明无界4否比如数列1，0，2，0，3，0，n，0，是无界数列，但它不是无穷大量5否比如数列的和为1、积为0，显然都收敛6否比如数列的极限为1，但数列的极限不存在7否如数列，是无穷小量，n是任意数列8是根据数列极限四则运算可得10否如n与-n之和的极限为零正确的命题应是：两个同号无穷大量之和的极限为无穷大11是由于无穷小量是有界数列，据运算法则知有界数列与无穷大量的和、差仍为无穷大，所以原命题正确12否如都是无穷小量，其和的极限为正确的命题是：有限个无穷小量之和仍为无穷小量13否首先要肯定无穷小量不是一个数（除零以外），在n的过程中，它的绝对值能小于给定的任意正数（不论多么小），无穷小量能深刻说明自身与零的无限接近程度14否思路同上15否如a=1，当n越大时，越小，但并不以1为极限，因为无极限16否“越来越接近零”并不意味着“无限趋于零”17否“无穷多项”，并不意味着“所有项”18是19否如对任何x，都有f(x)0，但正确的命题是：若f(x)0，且，则必有a020否如虽然，但f(0)=-10，则在的某一邻域内（点除外），恒有f(x)0.21.否如，在x0时，|f(x)|越变越小，但，不是无穷小量22否如当x时，会变得比任何数都要小，但在此过程下，f(x)不是无穷小量23否如与，当x0时均非无穷小量，但24否如与当x0时，它们显然都不是无穷小量，但，当x0时是无穷小量25否如当x0时，两函数均无极限，但当x0时，极限存在26是可用反证法证明，若有极限，那么根据极限四则运算法则知，必有极限，这与题设矛盾27否28否尚需左、右极限相等29否尚需极限值等于函数值30否如在（0，1）内连续，但在（0，1）内既无最大值也无最小值，正确的命题是将（a，b）改为闭区间a，b31否将“或”