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1,第六章 能带理论,2,6.1 三维情况的布洛赫定理 一、三维晶体的布罗赫定理证明,1.布罗赫定理 (1)布罗赫定理 在周期性势场中运动的电子，描述电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶格相同的周期性。 (2)表达式,3,2.布罗赫定理证明,(2)能量本征值E所对应的解1(r)、 2(r)、 d(r),满足正交归一化条件。,(3)利用平移算符和哈密顿算符的对易性，求出i(r+Rn),4,为任意函数,5,波函数应满足正交归一化条件:,6,(4)任何两个平移算符对易 f(r)为任意函数,结论：所有平移算符具有共同的本征函数，且和哈密顿算符有共同的本征函数。,7,(5)设此共同的本征函数为,8,(6)代入本征方程可得,(7)引入平面波,代入本征方程可得,后面有证明,9,(9)调幅函数周期性证明,(8)晶体中的波函数为,10,3.波函数(布洛赫波或布洛赫函数)的意义,(1)描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶体相同的周期性。 (2)由于晶体中原子的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动, 即电子属于整个晶体。 (3)晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大，其波函数应类似于平面波。由平面波因子eikr来表示。 (4)当电子运动到原子实的附近，将受到该原子较强的作用，使其行为接近于原子中的电子，而晶体正是原子作周期性排列而成的，因此周期性函数uk(r)应当带有原子波函数的成分。,11,二、波矢k的取值范围,2. |uk|值的大小,1.晶体体积V和原胞数N,3.波矢k的表达式,周期性因子uk值模的平均值,12,
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