2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1. 角的概念的推广 (1)任意角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角；一条射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做 零角. (3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角. (4)一般地，与角终边相同的角的集合为 |=k360+,kz.,2. 弧度制 (1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角;用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做 弧度制 .在弧度制下1弧度记作1 rad. 2 rad=360, (2)设长度为r的线段oa绕端点o旋转形成的角为（为任意角，单位为弧度），旋转过程中点a所经过的路径看成是圆心角所对的弧，设弧长为l，则有 ，即l=|r.特别地，若取r=1，则有l=|，若|2，则有圆心角为的扇形的面积为 .,3. 任意角的三角函数定义 设是一个任意角，的终边上任意一点p的坐标是(x,y),它与原点的距离为 那么,5. 三角函数值在各象限的符号,+,+,-,-,sin,-,+,-,+,cos,-,+,+,-,tan,4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.,sin = mp ,cos = om ,tan = at.,分析 由于是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出的范围，进而求得 , ,2的范围，判定其所在的象限. 解 由是第二象限的角,得 k360+90k360+180（kz). (1)k180+45 k180+90(kz). 当k=2n(nz)时，n360+45 n360+90(nz),则 是第一象限角;,典例分析,题型一 象限角问题 【例1】若是第二象限的角，则 是第几象限的角？ 是第几象限的角? 2是第几象限的角.,当k=2n+1(nz)时，n360+225 n360+270(nz),则 是第三象限角. 综合,可知， 是第一或第三象限角. （2） 360+30 360+60,kz. 当k=3n,nz时,n360+30 n360+60,nz, 则 是第一象限角; 当k=3n+1,nz时，n360+150 n360+180,nz, 则 是第二象限角； 当k=3n+2,nz时，n360+270 n360+300,nz,则 是第四象限角. 综合，可知， 是第一、第二或第四象限的角. （3）2k360+18022k360+360,kz. 故2是第三、第四象限角或是终边落在y轴的非负半轴上.,学后反思 知道所在的象限， 所在的象限也可由象限等分法得到.下面以 为例说明， 如图所示：将每一个象限二等分（若是 则三等分，），从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4，若是第一象限角，则 在标有数字1的区域内，若是第二象限角，则 在标有数字2的区域内，依次类推，则很容易确定 所在的象限.,举一反三,1. 若=60+k360(kz),则 为第象限角.,解析: =30+k180(kz). 当k=2n(nz)时， 为第一象限的角； 当k=2n+1(nz)时， 为第三象限的角. 答案: 一或三,题型二 扇形弧长、面积公式应用 【例2】 一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题. 解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积为 当r=5时，l=10，=2(弧度),s取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2.,学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用均值不等式求最值.,举一反三 2. 已知一扇形的中心角是,所在圆的半径为r. （1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值c（c0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？,解析： （1）设弧长为l，弓形面积为s弓.,(2)方法一：扇形周长c=2r+l=2r+r, 当且仅当= ,即=2(=-2舍去)时，扇形面积有最大值.,方法二：由已知得2r+l=c, (lc), 当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.,题型三 三角函数的定义 【例3】(14分)已知角的终边经过点3x+4y=0上,求sin、cos、tan的值. 分析 本题求的三角函数值.依据三角函数的定义，可在角的终边上任取一点p（4t,-3t）(t0),求出r,由定义得出结论.,解 角的终边在直线3x+4y=0上， 在角的终边上任取一点p(4t,-3t)(t0),2 则x=4t,y=-3t, r= =5|t|,4 当t0时，r=5t, 8 当t0时，r=-5t, 12 综上可知，t0时，sin=- ,cos= ,tan=- ; t0时，sin= ,cos=- ,tan=- . 14,学后反思 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但当终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.,举一反三,3. 已知角的终边在直线y= x上，求sin,tan的值.,解析： 设点p（a, a）(a0)是角终边y=3x上一点，则tan = . 若a0，则是第一象限角，r=2a,sin= 若a0，则是第三象限角，r=-2a,sin=,题型四 求函数的定义域 【例4】求下列函数的定义域. 分析 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.,解 (1)如图1,(2)如图2，3-4sin2x0,sin2x - sin x,学后反思 求定义域的问题，其实质是解不等式，当不等式中含有三角函数时，可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.,举一反三 4. 当x取什么值时， 有意义？ 解析：由题意知,tan x0,xk(kz). 又xk+ (kz),x k(kz), 当xx|x k,kz时， 有意义.,【例】已知 则2-的范围为. 错解 由 所以- -0, 即02, 由+,得- - ,易错警示,由+,得- 2-,错解分析 上述解题过程分别求出、的范围，所采用的做法是不等价的，扩大了范围. 正解 设2-=a(+)+b(-)(a,b为待定系数)， 则2-=(a+b)+(a-b). 比较两边系数,得 ,解得 所以2-= (+)+ (-).,10. 若点p从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达q点，求q点的坐标.,考点演练,11. 已知是第二象限角，试判断sin(cos )cos(sin )的符号.,解析： xq=1cos =- ,yq=1sin = . q点的坐标为,解析: 在第二象限，-1cos 0,0sin 1, cos 作为角在第四象限，sin 作为角在第一象限， sin(cos )0,cos(sin )0, sin(cos )cos(sin )0.,12.如图，=30,=300,om、on分别是、的终边. （1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合； （2）求始边在om位置，终边在on位置上的所有角的集合. 解析：(1)300=-60+360, |-60+k36030+k360,kz. （2）-=300-30=270, |=270+k360,kz.,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 , (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数a为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c为常数); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点p（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点p（2，4）的切线方程.,分析 (1)点p处的切线以点p为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点p（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点p（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点p（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点p（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则. 解得 ,即点p(1,0), 点p到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点p（0,0）,求过点p(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过p点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q，当点q趋近于点p时，割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线，因此过点p的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线pq的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点p的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 p(2,0),且在