质点和质点系的动能定理.ppt

点积的微商,叉积的微商,点积和叉积,由牛顿第二定律: ，,借助标量积的微分法则，得：,一 质点的动能定理 (theorem of kinetic energy),在非相对论情况下，质量 m 为常数，则,于是：,称为元功，,描述了力的空间累积效应。,物理上，称,为质点的动能.,于是有：,可见：质点动能的微分等于作用于质点的合外力所作的元功，,又,对于有限的过程：, 有限的过程的动能定理.,即，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,Note:,若质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变，但动能表达式改变!,一 质点的动能定理,动能（状态函数）,（1）功是能量变化的量度. 功是一个过程量；而动能是一个状态量（只有外力对质点作功，才能使得质点的动能发生变化）；,（3）动能的单位和量纲与功的单位和量纲相同。,（2）质点动能定理是根据第二定律导出的，与牛二律一样，动能定理也仅适用于惯性系宏观低速运动的质点 ，并且功和动能都与 参考系的选取有关；,功和动能,动能定理和动量定理比较：,单 位： kgm/s (千克米/秒) J(焦耳)(或Nm牛顿米) 性 质： 矢量 标量 变化量： 由力的冲量决定 Ek由力的功决定 对于给定两个时刻t1和t2： 对于给定两个时刻t1和t2： 与惯性系的选择无关 Ek随惯性系的不同而不同 关 系：, 动量与动能的比较,物理量 动量 (momentum) 动能 (kinetic energy) 表达式,例: 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 角时小球的速率 .,解：,由动能定理,得,例题: 如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放.求物块击墙的速度.物块与水平面间的摩擦系数为,解,弹力只存在于ba 过程， 摩擦力始终存在， 由动能定理有： ( v0= 0 ),例：,m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出发沿x 轴运动,合力 (SI),则在x=03m内,合力作功A = ; x=3m处，物体速率v = .,解：,例： 一质量为 m 的物体，受到沿 x 轴正方向外力 F =F0 +kx 的作用（F0k为常数），从坐标原点由静止开始运动，求质点运动位移为 x0 时外力作的功以及速度与位移之间的函数关系 .,解：,（1）直线运动作功的表达式为,Fx 为 F 沿 x 轴的投影，于是,当 x = x0 时，外力作功为,（2）由动能定理，得,求得速度与位移之间的函数关系为,二 . 成对力的功（work done by twin force）,一对力：,分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力.,这说明：一对力作功等于其中一个质点受的力沿着该质点相对另一质点所移动的路径所作的功。,力总是成对的，设质量为 m1 和 m2 的两个物体分别受到 和 的力，且,二 . 成对力的功,有限大小的功为,一对功的计算：视一质点静止，取其为坐标原点，计算另一质点在此坐标系运动过程中受力作功 .,一对内力（internal force）做的功与参照系选择无关 ，只决定于两质点的相互作用力及其相对位移.,说 明：,（1）成对力的功只与作用力和相对位移有关（一般不为零）。,（2）由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，故一对内力做功之和与参考系的选择无关。即成对力的总功具有与参考系选择无关的不变性质。,为方便起见，计算时可认为其中一个质点静止，将参照系固定在该质点上：并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点受力所做的功。,只有在某些特殊情形中，如两质点的相对位置保持不变，内力的总功才为零。例如对于刚体，由于各质点的相对位置保持不变，内力的总功为零。,（3） 一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。,以地面为参考系：,以滑块为参考系：,（4） 在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。,（5）系统内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（因各质点位移不一定相同）。,说 明：,例：炸弹爆炸过程，内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。,例：摩擦力做功,从地面看摩擦力对物体作功,在物体参考系（也是惯性系），物体没有移动，,摩擦力是一对力，成对摩擦力作的功：,摩擦力对物体作功,一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关,= 运动中放出热能,例如：,A板对B板的摩擦力为,A板相对B板滑动,B板对A板的摩擦力为,求：当B板从一端移到另一端时，摩擦力所作功 .,解：,摩擦力是一对力，据对力作功的一般表达式，应有：,是相对位移量,二 质点系的动能定理（Kinetic energy theorem for a system of particles）,对第 i 个质点用质点动能定理:,两边对所有质点求和，得,上式说明，作用在质点系的一切内力和一切外力所作功的代数和等于质点系的动能增量., 质点系的动能定理.,例：P128 例1. 结论：一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。,例 ：已知 m 和 l ,水平静止下落,求下落 角时的速率及绳中张力.,解：珠子受力,不作功,重力mg 作功.,例：,将一重物匀速推上一斜坡,因其动能不变,所以 (A)推力不做功 (B)推力功和摩擦力功等值反号 (C)推力功和重力功等值反号 (D)此重物所受的外力的功之和为零,答案：D,思考,外力的冲量之和是否为零？,外力之和是否为零？,匀速运动，外力为零.,外力为零，则外力冲量之和为零.,例：,质点在外力作用下运动,下述哪种说法正确？ (A)质点的动量改变时,其动能一定改变. (B)质点的动能不变时,其动量也一定不变. (C)外力的冲量是零,则外力的功一定是零.