空间解析几何及多元函数微分学期末复习.ppt

2、空间解析几何(Ch8) 重点考察,向量运算,点在直线或点在平面上的投影,3、多元函数微分学(Ch9)：,方向导数和梯度不考；拉格朗日乘子法不考,两个变量的抽象函数和隐函数的二阶偏导数不考；,方程组情形的隐函数求偏导不考；,多元函数的极限不考；,不考,4、重积分(Ch10)：,5、曲线积分与曲面积分(Ch11)：,两类曲线积分的关系 不考,两类曲面积分的关系 不考,斯托克斯公式 不考,第八章 空间解析几何,（一）向量运算：数量积、向量积,（二）点在平面上的投影,（三）点在直线上的投影,数量积,定义表达式：,坐标表达式：,常用公式,（3）两向量的夹角公式：,（4）,一、向量的运算,向量积,定义表达式：,坐标表达式：,常用公式,方向:,且符合右手规则,模 :,/,向量的位置关系:,例. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,答案:,例. 已知向量,的夹角,且,解：,解:,空间平面方程,一般式,点法式,截距式,1. 空间平面与直线的方程,二、点在平面或点在直线上的投影,基本思路：,定点、定向,空间直线方程,一般式,对称式,参数式,点,方向向量,分析:,点在平面上的投影,点在直线上的投影,分析:,解:,代入平面方程:,第九章,（一）基本概念,（二）多元函数微分法,（三）多元函数微分法的应用,多元函数微分法及其应用,一、基本概念（1）,1. 多元函数的定义、极限 、连续,会求多元函数的定义域,判断极限不存在及求极限的方法（换元、夹逼准则）,会利用多元函数的连续性求极限,二元函数z = f (x , y) 在（x0 , y0）处连续,多元初等函数在定义区域内连续.,例,定义域,解：,2. 几个基本概念的关系,书P76 :5 ; P129 :1,沿任意方向 l 的 方向导数存在,求偏导数和全微分,1. 显函数求偏导数：固定其余变量对某个变量求导,二、多元函数微分法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,1,2. 复合函数求导的链式法则,需注意因变量、中间变量、自变量之间的关系。,例. 设,求,解:,y,x,3. 隐函数求导公式,1、一元隐函数,2、二元隐函数,注：对“抽象函数”和“隐函数”会求“一阶”偏导数即可。,解：,设,则,例. 设,4. 全微分,z = f (x , y),例. 设,则,例. 设,则,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),3. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (代入法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,2. 方向导数与梯度(公式),1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,解：,切线方程,法平面方程,切点：,切向量：,曲面方程：,法线方程,1) 隐式情况 .,切平面方程,2. 空间曲面的切平面与法线,曲面方程：,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,例. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处,的切平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,例. 在曲面,并写出该法线方程 .,提示: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,例. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,时, 具有极值,1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨