高中数学单元质量评估（三）（含解析）新人教A版2.docx

单元质量评估(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016台州高二检测)函数y=lgx的导数为()A.1xB.1xln10C.1xln10D.1xlge【解析】选C.因为(logax)=,所以(lgx)=.2.(2016泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f(1)的值为()A.1-cos1B.1+cos1C.-1+cos1D.-1-cos1【解析】选B.f(x)=cosx+,f(1)=cos1+1.3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是()A.0,43B.C.(-,0)D.(-,0)【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)0得0x.4.已知物体的运动方程是s=13t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是()A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒【解析】选D.s=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.5.函数y=2x3-2x2在-1,2上的最大值为()A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D.y=6x2-4x=2x(3x-2),列表:x-1(-1,0)02y+-+y-40-8所以ymax=8.6.(2016临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是()A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)【解析】选C.f(x)=+1.设P0(x0,y0),则+1=4,解得x0=1.因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.所以点P0的坐标为(1,3).7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)ex的一个极值点,则a的值为()A.1B.2C.eD.5【解析】选A.因为f(x)=aex+(ax-2)ex,所以f(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把a=1代入函数得:f(x)=(x-2)ex,所以f(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),所以f(1)=0,且x1时,f(x)1时,f(x)0.故a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27且用料最省,则圆柱的底面半径为()A.5B.6C.3D.2【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=R2l=27,所以l=.要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而S表=R2+2Rl=R2+,令S表=2R-=0,解得R=3,即当R=3时,S表最小.9.(2016菏泽高二检测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-,1)C.(0,+)D.0,12【解析】选D.f(x)=3x2-6b,因为f(x)在(0,1)内有极小值,所以f(x)=0在x(0,1)有解.所以所以0b.10.(2016合肥高二检测)设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()【解析】选C.y=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),由y=0得x=a或x=.因为ab,所以a,所以当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值且极小值为负.11.(2016烟台高二检测)已知a0,函数f(x)=ax3+12alnx,且f(1)的最小值是-12,则实数a的值为()A.2B.-2C.4D.-4【解析】选B.f(x)=3ax2+,所以f(1)=3a+-12,即a+-4,又a0,有a+-4.故a+=-4,此时a=-2.12.(2016全国卷)若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.-1,13C.-13,13D.-1,-13【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f(x)=1-cos2x-cosx,但f(0)=1-1=-2-,故函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.答案:【补偿训练】曲线y=13x3-2以点1,-53为切点的切线的倾斜角为.【解析】y=x2,当x=1时,y=1,从而切线的倾斜角为45.答案:4516.设f(x)=x3-12x2-2x+5,当x-1,2时,f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是.【解析】f(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f(x)=0,得x=1或x=-.f(x)极小值=f(1)=1-2+5=,f(x)极大值=f=-+5=5.又f(-1)=-1-+2+5=,f(2)=8-2-4+5=7,比较可得f(x)max=f(2)=7.因为f(x)7.答案:(7,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有f(x1)=f(x2)=0,从而x1x2=1,所以a=9.(2)由于=36(a+2)2-4182a=36(a2+4)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数.【补偿训练】已知函数f(x)=12ax2+2x-lnx.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间13,2上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+).因为f(x)=ax2+2x-lnx,当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f(x)=2-,令f(x)=0得x=,所以当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表xf(x)-0+f(x)极小值所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)=ax2+2x-lnx,且x0,则f(x)=ax+2-=.若a=0,由f(x)0得x,显然不合题意;若a0,因为函数f(x)在区间上是增函数,所以f(x)0对x13,2恒成立,即不等式ax2+2x-10对x13,2恒成立,即a=-=-1恒成立,故a.而当x=时,函数-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a3.18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3+1=4,所以x0=1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.19.(12分)(2016临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-(x0),因为x=2时,f(x)取得极值,所以f(2)=0,解之得a=-,经检验符合题意.(2)由题意知f(x)0在x0时恒成立,即ax2+2x-10在x0时恒成立,则a=-1在x0时恒成立,即a(x0),当x=1时,-1取得最小值-1.所以a的取值范围是(-,-1.20.(12分)某5A级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+10150x-blnx10,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)【解析】(1)由条件可得解得a=-,b=1.则f(x)=-+x-ln(x10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x10),则T(x)=-+-=-,令T(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x(10,50)时,T(x)0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;当x50时,T(x)13,且当x1,4a时,f(x)a3-12a恒成立,试确定a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1且f(x)=3x2-6x-9,由f(x)=0得x=-1或x=3.当x0,当-1x3时,f(x)0,因此x=-1是函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)=6;当-1x3时f(x)3时f(x)0,因此x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-26.(2)因为f(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a,所以当1x3a时,f(x)0;当3a0.所以x1,4a时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3.由f(x)a3-12a在1,4a上恒成立得-26a3a3-12a.解得a-或0a.又a,所以a.即a的取值范围为.22.(12分)奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点A(-2,2),B(22,102).(1)求f(x)的表达式.(2)求f(x)的单调区间.(3)若方程f(x)+m=0有三个不同的实数根,求m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,所以f(-x)=-f(x)(xR).所以b=0.所以f(x)=ax3+cx.因为图象过点A