高中数学第二章平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学案（无答案）新人教A版.docx

2.3平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二两向量的夹角与垂直思考1平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案存在夹角，不一样思考2ABC为正三角形，设a，b，则向量a与b的夹角是多少？答案如图，延长AB至点D，使ABBD，则a，ABC为等边三角形，ABC60，则CBD120，故向量a与b的夹角为120.梳理(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(如图所示)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底2零向量可以作为基向量()提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量3平面向量基本定理中基底的选取是唯一的()提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.类型一对基底概念的理解例1(2017衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2考点平面向量基本定理题点基底的判定答案B解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底故选B.反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e13e2考点平面向量基本定理题点基底的判定答案D解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22，也为共线向量；选项C中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合类型二用基底表示向量例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.解取CF的中点G，连接EG.E，G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，ab.又，bab.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练2如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案解析设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.类型三向量的夹角例3已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.考点平面向量的夹角求向量的夹角题点求向量的夹角解如图，作a，b，且AOB60，以OA，OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角30，所以90.反思与感悟(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1，2是非零常数)的夹角为0，当120时，0.跟踪训练3在ABC中，C90，BCAB，则与的夹角是()A30B60C120D150考点平面向量的夹角求向量的夹角题点求向量的夹角答案C解析如图，作向量，则BAD是与的夹角，在ABC中，因为C90，BCAB，所以ABC60，所以BAD120.1给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中，说法正确的为()ABCD考点平面向量基本定理题点基底的判定答案B2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内所有向量的基底的是()ABCD考点平面向量基本定理题点基底的判定答案B解析中与共线，中与共线，中两向量不共线，故选B.3已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案1512解析向量e1，e2不共线，解得4设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案解析()，又与不共线，1，2，12.5在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以e1，e2为基底表示.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解e1e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.一、选择题1如图所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案A解析()()(5e13e2)2如图所示，用向量e1，e2表示向量ab为()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案C3已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则等于()A.B.CD考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案C解析因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使t，则t()所以t()(1t)t.所以解得.4(2017石嘴山第三中学四模)设点D为ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A.B.C.D.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案D解析依题意，得()，故选D.5若1a，2b，2(1)，则等于()AabBa(1)bCabD.ab考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案D解析，1(2)，(1)12，12ab.6已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心C重心D垂心考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案B解析为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又(0，)，所以的方向与的方向相同而，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过ABC的内心7若|a|b|ab|r(r0)，则a与b的夹角为()A30B45C60D90考点平面向量的夹角求向量的夹角题点求向量的夹角答案C二、填空题8已知ae1e2，b2e1e2，c2e14e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c_.(用a，b表示)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案2a2b解析设cab，则2e14e2(e1e2)(2e1e2)(2)e1()e2，因为e1，e2不共线，所以解得故c2a2b.9已知10，20，e1，e2是一组基底，且a1e12e2，则a与e1_，a与e2_.(填“共线”或“不共线”)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案不共线不共线解析e1，e2不共线，10，20，a与e1，e2都不共线10如图，在MAB中，C是边AB上的一点，且AC5CB，设a，b，则_.(用a，b表示)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案ab解析()ab.11已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案(，4)(4，)解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.三、解答题12在梯形ABCD中，M，N分别是DA，BC的中点，且k.设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量，.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解方法一如图所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如图所示，过C作CEDA，交AB于点E，交MN于点F.同方法一可得ke2.则()e1(k1)e2，()e2.方法三如图所示，连接MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.13设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数(1)证明若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)解设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.e1与e2不共线，c2ab.(3)解由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.四、探究与拓展14已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为