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文档简介
1.4 生活中的优化问题举例,问题提出,1.在什么条件下,函数f(x)在闭区间a,b上一定存在最大值和最小值?,函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,2.如果在闭区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么如何求出函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值?,将函数f(x)在开区间(a,b)上的所有极值与区间端点函数值进行比较,其中最大者为最大值,最小者为最小值.,3.生活中经常遇到求利润最高,产量最大,成本最低,用料最省等实际问题,这些问题通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是求函数的最值,因此,以函数为载体导数为工具,解决生活中的优化问题,是数学应用领域的一个重要课题.,探究(一):海报版面尺寸的设计,思考1:版心面积为定值128dm2,海报的面积是否也为定值?,思考2:设版心的高为x,则海报的面积为多少?海报四周空白的面积为多少?,思考3:设海报四周空白的面积为S(x),则S(x)的最简表达式如何?其定义域是什么?,思考4:海报四周空白的面积S(x)是否存在最值?若存在,如何求其最值?,思考5:如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?,版心高为16dm, 宽为8dm时,,探究(二):饮料瓶大小对饮料公司利润的影响,【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8r2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.,思考1:1mL饮料所占的体积是多少cm3?半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料?,思考2:每瓶满装的饮料的利润(单位:分)是多少?,思考3:设每瓶满装饮料的利润为f(r),则函数f(r)的定义域是什么?,(0,6,思考4:函数 是否存在最值?若存在,如何求其最值?,思考5:函数 的大致图象是什么?据图象分析,瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影响?,当0r3时,利润为负值;当r3时,利润为零;当r3时,利润为正值,并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.,思考6:市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些(如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高),在数学上有什么道理?,将包装盒捏成球状,因为小包装的半径小,其利润低,生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润.,探究(三):磁盘的最大存储量问题,【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上,磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常称为比特,磁盘的构造如图所示.,为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便,磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.,思考1:现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R的环形区域,且最外面的磁道不存储任何信息,那么这张磁盘的磁道数最多可达多少?,思考2:由于每条磁道上的比特数相同,那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数?,最内一条磁道.,思考3:要使磁盘的存储量达到最大,那么最内一条磁道上的比特数为多少?,思考4:这张磁盘的存储量最大可达到多少比特?,思考5:若R为定值,r为变量,那么这张 磁盘的存储量 如何变化?有何最值?,时,存储量最大.,思考6:如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么如何计算磁盘的存储量?此时,是不是r越小,磁盘的存储量越大?,时,存储量最大.,理论迁移,例 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能力,进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为(60x)x2万元,并且技 改投入比率 .求当技改投入 多少万元时,所获得的产品的增加值为最大?,技改投入40万元,小结作业,1.解决优化问题的基本思路:,优化问题,2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理,其探究过程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值,要根据函数式的特点,用适当的方法求解,有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便.,3.对优化问题中的函数关系,要注意根据实际背景确定函数的定义域,如果目标函数在定义域内只有一个极值点,则这个极值点一般就是最值点.,例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10km时,燃料费是每小时6元,其它与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以何种速度航行时,能使每行驶1km的总费用最小?,20km/h,例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么当容器的高为多少时,其容积最大?最大容积为多少?,高为1.2m,最大容积为1.8m3.
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