高中数学第一章集合与函数章末复习学案（含解析）新人教A版必修1.docx

章末复习学习目标1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力1知识网络2重要技能(1)运算技能主要表现在使用Venn图求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用、方程、不等式运算，以及式子的变形等(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律3数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质1函数的定义域、值域都是集合()2直线xa与函数yf(x)至多有一个交点()3直线yb与R上的增函数至多有一个交点()类型一集合的综合运算例1已知集合Ax|0x2，Bx|axa3(1)若(RA)BR，求a的取值范围；(2)是否存在a使(RA)BR且AB？考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解(1)Ax|0x2，RAx|x2(RA)BR.(如图)1a0.即a的取值范围是1,0(2)由(1)知当(RA)BR时，1a0，而a32,3，AB，这与AB矛盾即这样的a不存在反思与感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反跟踪训练1已知全集Ux|x|5，集合Ax|2x1，集合Bx|3x3，求UA，AB，U(AB)，(UA)B.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解由题意知Ux|5x5，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来如图，所以UAx|5x2或1x5，ABx|2x1，U(AB)x|5x2或1x5，(UA)Bx|3x2或1x3类型二函数概念及性质命题角度1函数三要素例2已知函数f(x)(1)求f(x)的定义域，值域；(2)求f(f(1)；(3)解不等式f(x1).考点分段函数题点分段函数的综合应用解(1)f(x)的定义域为(0,1)1,2).易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数，当x1时，f(x)max，又f(0)0，f(2)，f0，值域为.(2)f(1).f(f(1)f.(3)f(x1)等价于或或解得x0，解得0x的解集为.反思与感悟分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f，仍整体上构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入座各行其道跟踪训练2(2017临沂一中月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x.(1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域考点函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用题点奇偶性、单调性及最值的综合问题解(1)当x0时，f(x)x22x，当x0，f(x)x22x.又函数f(x)为偶函数，f(x)x22x，故函数f(x)的解析式为f(x)函数f(x)的图象如图所示(2)由函数f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1,0，1，)，单调递减区间为(，1)，(0,1)，函数f(x)的值域为1，)命题角度2函数性质的综合应用例3已知函数f(x)是定义在区间1,1上的奇函数，且f(1)1，若对于任意的m，n1,1有0.(1)判断函数的单调性(不要求证明)；(2)解不等式ff(1x)；(3)若f(x)2at2对于任意的x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围考点函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用题点奇偶性、单调性及最值的综合问题解(1)函数f(x)在区间1,1上是增函数(2)由(1)知函数f(x)在区间1,1上是增函数，由ff(1x)，得解得0x.所以不等式ff(1x)的解集为.(3)因为函数f(x)在区间1,1上是增函数，且f(1)1，要使得对于任意的x1,1，a1,1都有f(x)2at2恒成立，只需对任意的a1,1，2at21恒成立令y2at1，此时y可以看作a的一次函数，且在a1,1时，y0恒成立因此只需解得t，所以实数t的取值范围为.反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值的应用跟踪训练3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性、奇偶性综合解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1类型三函数图象的画法及应用例4定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，(1)试画出f(x)，x3,5的图象；(2)求f(37.5)；(3)常数a(0,1)，ya与f(x)，x3,5的图象相交，求所有交点横坐标之和考点函数图象的对称性题点对称问题综合解(1)f(x)为奇函数，f(x2)f(x)，f(x)关于直线x1对称由f(x)在0,1上的图象反复关于(0,0)，x1对称，可得f(x)，x3,5的图象如图(2)由图可知f(x4)f(x)，f(37.5)f(491.5)f(1.5)f(0.5).(3)由图可知，当a(0,1)时，ya与f(x)，x3,5有4个交点，设为x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)由图可知1，3.x1x2x3x4264.反思与感悟画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果跟踪训练4已知奇函数f(x)(1)求实数m的值；(2)画出函数的图象；(3)若函数f(x)在区间1，|a|2上单调递增，试确定a的取值范围考点函数图象的对称性题点对称问题综合解(1)当x0，f(x)(x)22(x)x22x.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)x22x，则m2.(2)由(1)知f(x)函数f(x)的图象如图所示(3)由图象可知f(x)在1,1上单调递增，要使f(x)在1，|a|2上单调递增，只需1|a|21，即1|a|3，解得3a1或1a3.所以实数a的取值范围是3，1)(1,3.1已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)等于()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1，f(3)32333，1，ff12.4已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_考点函数图象题点函数图象的应用答案(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，得y在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图所示根据图象可知，当0k1或1k2或x2，Nx|x3或x1都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x2考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案A解析题图阴影部分表示N(UM)x|x3或xf(2) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(1)f(2)考点单调性与奇偶性的综合应用题点综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小答案D解析当x0时，f(x)x1是增函数，f(1)f(2)，又f(x)为偶函数，f(1)f(1)，f(2)f(2)，D对6设函数f(x)若f4，则b等于()A1B.C.D.考点分段函数题点分段函数求参数值答案D解析1，f3bb.若b，则f3b4b4.若b1，即b，则f252b4，b.故选D.7已知函数yf(x)与yg(x)的图象如图，则函数yf(x)g(x)的图象可能是()考点函数图象题点函数图象的判断与理解答案A解析函数yf(x)g(x)的定义域是函数yf(x)与yg(x)的定义域的交集(，0)(0，)，图象不经过坐标原点，故可以排除C，D.因为函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，所以yf(x)g(x)是奇函数，故选A.8已知函数f(x)则f(1)f(3)等于()A7B2C7D27考点分段函数题点分段函数求值答案C解析由题意得f(1)f(4)42117，f(3)32110，故f(1)f(3)17107.二、填空题9设集合Ax|1x2，Bx|xa，满足AB，则实数a的取值范围是_考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围答案a|a2解析如图，可知a2.10如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案2x3解析设x0，g(x)2x3.g(x)为奇函数，当x0时，f(x)g(x)g(x)2x3.11给出以下三个命题：若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f(2x)的定义域为0,4；函数f(x)的单调递减区间是(，0)(0，)；若f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2，2018.其中正确的命题有_(写出所有正确命题的序号)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性、奇偶性综合答案解析若函数f(x)的定义域为0,2，由2x0,2，得x0,1，即函数f(2x)的定义域为0,1，故错误；函数f(x)的单调递减区间是(，0)，(0，)，故错误；若f(xy)f(x)f(y)，则f(x1)f(x)f(1)，由f(1)2知，当xN*时，f(x)0恒成立则f(1)2，210092018，故正确三、解答题12已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)满足条件：f(x1)f(3x)，且方程f(x)2x有两等根(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在0，t上的最大值考点求函数的解析式题点待定系数法求函数解析式解(1)方程f(x)2x有两等根，即ax2(b2)x0有两等根，(b2)20，解得b2.由f(x1)f(3x)，得1，x1是函数f(x)的图象的对称轴，而此函数f(x)图象的对称轴是直线x，1，a1，故f(x)x22x.(2)函数f(x)x22x的图象的对称轴为x1，x0，t，当01时，f(x)在0,1上是增函数，在1，t上是减函数，f(x)maxf(1)1.综上，f(x)max13已知函数f(x)是定义在(1,1)上的函数(1)用定义法证明函数f(x)在(1,1)上是增函数；(2)解不等式f(x1)f(x)0.考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式(1)证明设x1，x2是区间(1,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).1x1x21，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上是增函数(2)解由(1)知，f(x)在(1,1)上单调递增，且易证f(x)为奇函数，f(x1)f(x)0，即f(x1)f(x)即f(x1)f(x)，0x.不等式的解集为.四、探究与拓展14已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f的值是_考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案0解析当x时，fff，f0.又ff，ff，f0，从而f0.15已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值