高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆课时提升作业（十）2.1.2.1椭圆的简单几何性质检测.docx

课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-6,0),(6,0)D.(0,-6),(0,6)【解析】选D.椭圆6x2+y2=6可化为x2+=1,故椭圆长轴的端点坐标为(0,-),(0,).2.椭圆x22+y24=1的短轴长为()A.2B.2C.22 D.4【解析】选C.由题意可知b2=2,所以b=,所以2b=2.3.(2015安阳高二检测)已知椭圆x2a2+y2b2=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()A.(3,0)B.(0,3)C.(5,0)D.(0,5)【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c=.所以椭圆的焦点坐标是(,0).4.椭圆C1:x225+y29=1和椭圆C2:x29-k+y225-k=1(0kb0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1【解题指南】利用椭圆的定义,将AF1B的周长转化为4a=4,确定出a的值,然后结合离心率确定c的值,从而求出椭圆方程.【解析】选A.由椭圆的定义可知,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,又因为AF1+AF2+BF1+BF2=4,即4a=4,解得a=.又=33,则c=1,b2=a2-c2=2,所以椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015冀州高二检测)椭圆x225+y216=1的半焦距是.【解析】因为a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,所以c=3.答案:37.以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=255的椭圆的方程是.【解析】当焦点在x轴上时,因为a=5,e=,所以c=2,所以b2=a2-c2=25-20=5.所以椭圆方程为+=1.当焦点在y轴上时,因为b=5,e=,所以=,所以a2=125.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1或+=1【误区警示】本题常常因为忘记对焦点所在的位置讨论,导致漏解.8.(2015潍坊高二检测)若椭圆x2k+2+y24=1的离心率e=13,则k的值等于.【解析】当焦点在x轴上时,a=,b=2,c=,e=k-2k+2=,解得k=;当焦点在y轴上时,a=2,b=,c=,e=2-k2=,解得k=.所以k=或k=.答案:或三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【解析】椭圆方程可化为+=1.因为m-=0,所以m,即a2=m,b2=,c=m(m+2)m+3.由e=32得m+2m+3=32,所以m=1.所以椭圆的标准方程为x2+=1.所以a=1,b=,c=32.所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点分别为F1,F2;四个顶点分别为A1(-1,0),A2(1,0),B10,-12,B20,12.10.(2015安徽高考)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1ab0,点O为坐标原点,点A的坐标为a,0,点B的坐标为0,b,点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为0,-b,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.【解题指南】(1)由kOM=和椭圆的离心率公式求得.(2)根据点N关于直线AB的对称点S的中点T在直线AB上且kNSkAB=-1联立方程组求得b的值.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又kOM=,所以=,进而得a=b,c=2b,故e=.(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有b=3,所以a=3,故椭圆的方程为+=1.【补偿训练】已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若=0,椭圆的离心率等于22,AOF2的面积为22,求椭圆的方程.【解析】因为=0,所以AF2F1F2,因为椭圆的离心率e=22,则b2=a2,设A(x,y)(x0,y0),由AF2F1F2知x=c,所以A(c,y),代入椭圆方程得+=1,所以y=,因为AOF2的面积为2,所以=xy=2,即c=2,因为=22,所以b2=8,所以a2=2b2=16,故椭圆的方程为+=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15【解题指南】由椭圆的几何性质建立关于a,b,c的等量关系,进而求其离心率.【解析】选B.由题意知,2a+2c=22b,即a+c=2b.所以a2+2ac+c2=4b2,又因为b2=a2-c2,所以3a2-2ac-5c2=0,所以5e2+2e-3=0解得e=或-1(舍去).2.(2015东莞高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为()A.3-12B.2-1C.22D.3-1【解析】选D.如图,F1PF2为直角三角形,PF2F1=30,又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c,所以=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程为.【解析】椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,则焦点为(0,-)与(0,).设所求椭圆的方程为+=1(0).又椭圆过点(2,-3),所以+=1,解得=10或=-2(舍去).所以所求椭圆的方程为+=1.答案:+=14.(2015浙江高考)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2.求椭圆C的离心率.【解题指南】由=2,建立参数a,c的等量关系,求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为+=1(ab0),其中F是左焦点,B是上顶点,则F(-c,0),B(0,b),设D(x,y),所以(-c,-b)=2(x+c,y),所以解得x=-c,y=-.又因为点D在椭圆C上.所以+=1.整理得=,所以e=33.【补偿训练】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2是椭圆的焦点,且F1PF2=90,求证:椭圆的离心率e22.【证明】方法一:因为点P是椭圆上的点,F1,F2是焦点,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,在RtF1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,由2,得|PF1|2+2|PF1|PF2|+|PF2|2=4a2,所以|PF1|PF2|=2(a2-c2),由和,知|PF1|,|PF2|是方程z2-2az+2(a2-c2)=0的两根,且两根均在(a-c,a+c)之间.令f(z)=z2-2az+2(a2-c2),则可得,即e22.方法二:由题意知cb,所以c2b2=a2-c2,所以,故e22.6.(2015潮州高二检测)已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率e=32,椭圆左、右顶点分别为A,B,且A到椭圆两焦点的距离之和为4.设P为椭圆上不同于A,B的任一点,作PQx轴,Q为垂足.M为线段PQ的中点,直线AM交直线l:x=b于点C,D为线段BC的中点,连接OD(如图).(1)求椭圆的方程.(2)证明:OMD是直角三角形.【解析】(1)依题意,所以椭圆的方程为+x2=1.(2)证明如下:依题,A(-1,0),B(1,0),直