chapt3-1二维随机变量及其分布.ppt

第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 条件分布（不讲） 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布,在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如：用温度和风力来描述天气情况.用身高和体重来描述人的生理特征.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分.要研究这些随机变量之间的联系,就需考虑多维随机变量及其取值规律多维随机变量及其分布.,第一节 二维随机变量及其分布,一、二维随机变量及其分布,二、二维离散型随机变量及其分布,三、二维连续型随机变量及其分布,四、二维连续型随机变量中两个重要分布,一、二维随机变量及其分布,1.二维随机变量 P63,设S=e为随机试验E的样本空间，X=X(e)和Y=Y(e)为定义在样本空间S上的二个随机变量，则由它们构成的向量(X,Y) 称为样本空间S上的一个二维随机变量或二维随机向量.,注,1）应把二维随机变量(X,Y)看作一个整体，因为X与Y之间是有联系的.,2）几何上二维随机变量(X,Y)可看作平面上的随机点.,二维随机变量的例子,1）对一目标进行射击，令X: 弹着点与目标的水平距离; Y: 弹着点与目标的垂直距离，则 (X, Y)是一个二维随机变量.,2）观察某地区的气候状况，令X: 该地区的温度； Y: 该地区的湿度，则 (X, Y)也是一个二维随机变量.,2.二维随机变量的联合分布函数 P63,(1)定义 设（X, Y）是二维随机变量,对于任意实数x, y.二元函数,称为二维随机变量（X, Y）的分布函数或X和Y的联合分布函数,将二维随机变量看作XOY平面上随机点的坐标，则联合分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落在无穷矩形区域,内的概率(图中阴影部分),(2)二元分布函数的几何意义 P63,(3)一个重要的公式,1) 对任意(x, y) R2 ,(4)二元分布函数的性质 P64,0 F(x, y) 1 ，且,2) F(x, y)关于 x 和 y 是不减函数.即： 对任意y R, 当x1x2时，F( x1, y ) F( x2 , y )； 对任意x R, 当y1 y2时，F(x , y1 ) F(x , y2).,3) F(x, y)关于x和y均是右连续的，即：,说明：,任一具有上述四条性质的二元函数F(x, y)皆可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,4) 对于任意,例l(P64) 已知二维随机变量（X，Y）的联合分布函数,（1）确定常数A、B、C,（2）求概率,(补),为,解：,从而得：,1.二维离散型随机变量 P65,二、二维离散型随机变量及其分布,若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值为有限对或可列无限多对时，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,2.二维离散型随机变量的联合分布律 P65,设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi , yj) , (i , j=1,2, ),且每对取值的概率为,并且pij满足,(),则称()为二维随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律,(1),(2),其中,二维离散型随机变量的联合分布律表格表示法,例2.一口袋中5个球，依次标有2，2，2，3，3，在袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时，袋中各球取到的可能性相同，以X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的联合分布律。,解：,(X,Y)的可能取值为(2,2), (2,3), (3,2), (3,3),从而得(X,Y)的联合分布律：,3.二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数,D为XOY平面上某一个点集,例（续例2）,求:(2),(3)分布函数F(x , y),已求得(X,Y)的联合分布律：,(2),（3）,例3 在箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只作不放回抽样，设随机变量X、Y如下：,求: (1) (X,Y)的联合分布律；(2),(3) 分布函数F(x , y),(X,Y)的可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1),解.（1）,从而得(X,Y)的联合分布律：,(2),（X,Y）,（X,Y）,x0 或 y0 时,0x1 且 0 y1 时,0x1 且 y 1 时,（X,Y）,(3),（X,Y）,x1 且 0 y1 时,x1 且 y 1 时,（X,Y）,从而得,三、二维连续型随机变量及其分布,1. 定义 P67,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x, y), 如果存在一个非负函数f (x,y), 使得对于任意实数x, y,有,则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,2.性质 P68,(1),(2),任一具有性质(1)、(2)的二元函数f(x, y)皆可以作为某二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度。,(4) 若f (x, y)在点(x, y)处连续，F(x,y)为相应的分 布函数，则,在几何上, z = f (x , y)表示空间的一个曲面，上式表示 P(X,Y)D的值等于以D为底，以曲面z = f (x , y)为顶的曲顶柱体体积,(3) D是XOY平面上一个区域，则,解：,于是,例4. 已知二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为,求(X, Y)的联合概率密度f(x, y),例5(P68 例3) 设随机变量(X,Y)的概率密度为,(2) (X,Y)的分布函数F(x, y),试求: (1) 常数 k ;,(3) 概率,解：,(1)由,得：,由此解得：,(2) 由,(3),例 设随机变量(X,Y)的概率密度为,求（1）常数C（2）概率PY2X,解： (1),于是,即：,(2),y2x,例 设随机变量(X,Y)的概率密度为,求（X，Y）的分布函数F(x,y),解：,o,从而得,四、二维连续型随机变量中两个重要分布,1.均匀分布 P69,设G为XOY平面上有界区域，其面积为A，若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布,二维均匀分布几何意义,若二维随机变量（X,Y）服从区域G上的均匀分布，我们可以认为随机点（X,Y）只落在区域G内；且落在G内任一子区域内的概率只与该子区域的面积成正比，而与子区域的形状及其在G中的位置无关,2 二维正态分布 P70,若二维随机变量（X, Y）的概率密度为,其中1、2 、1 、2 、 都为常数，且