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文档简介

1,第八章 无穷级数,2,无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.,一、级数的基本概念,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,第一节 级数的概念和性质,3,1、级数的定义:, (常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,4,2、级数的收敛与发散:,5,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,6,发散,发散,综上所述,7,公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,8,如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.,9,10,解,例2,讨论无穷级数,的收敛性.,11,解,例3,所以级数发散.,12,二、级数的重要性质,性质1 (级数收敛的必要条件),证明,13,说明：,1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；,级数发散；,级数发散。,14,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,15,讨论,于是,矛盾，,调和级数,16,由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。,也收敛,且有,性质2 线性运算性质,17,注:,证,矛盾.,18,性质3,收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.,证略。,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.,例如,例如，,则级数,且和不变.,19,去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响,性质4,它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).,证略。,20,解,例4,由性质3，,由性质2，,所以,注意：不能去括号,21,由性质2，,所以,于是,解,例4,22,例5,判断下列级数的敛散性：,故原级数
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