概率论第二章第一讲.ppt

第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布,一、随机变量的概念 二、离散型随机变量及其分布律,2.1 随机变量的概念,三、小结,1. 为什么引入随机变量,一、随机变量的概念,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念.,a、有些试验结果与数值有关 (试验结果就是一个数) 。,例如，掷一颗骰子，上面出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从北京站下火车的人数；,每条昆虫产卵数；,b、有些试验，试验结果看起来与数值无关, 但可引进一个变量来表示试验的各种结果。也就是说：试验结果可以数值化。,在投篮试验中，用0表示投篮未中，1表示投篮命中，3 表示三分线外命中，2表示其他形式命中，则随机试验结果可数值化。,在掷硬币试验中，用H=1表示带国徽或人头的一面朝上，T=0表示另一面朝上，则随机试验结果可数值化。,2. 随机变量的定义,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母, , ,.等表示.,比如：在有两个孩子的家庭中，若考虑其性别，则可能有下列情形：,用 表示该家庭中女孩子的个数，则有：,可见随机变量是试验结果的函数,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的一元函数有着本质的差别 ,普通一元函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,.说明,(1)随机变量与普通的函数不同,例 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有,即 X (e) 是一个随机变量.,例 某人射击打靶，用X表示击中的环数，则X是一个随机变量。 X的取值为1，2，3，10,引入随机变量X后，就可以用随机变量X描述随机事件。,例如，若X取值为1,2,。则 就为随 机事件， . 更一般地 也是随机事件。其 中 为任意实数。,随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大到对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,四、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。,全部可能取值不仅有 无穷多，而且还不能 一一列举，且充满一 个区间.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点。,学习时请注意它们各自的特点和描述方法。,定义 若随机变量 X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,二、离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,其中,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率分布。,从盒中任取3 球, 记X为取到白球数。则X是一随机变量。,X可能取的值是0,1,2。,取每个值的概率为,例,且,练习：,已知 X 的分布律如下：,X 1 2 3 4,P 1/2 1/4 1/8 a,答案：,求（1）a; （2）PX3.,三、常见离散型随机变量及其概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,1.（0-1）分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-1) 分布.,或写成：,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.,若n 次重复试验具有下列特点：,2. n 重贝努利(Bernoulli)试验,1) 每次试验的可能结果只有两个A 或,2) 各次试验的结果相互独立，,( 在各次试验中p是常数，保持不变）,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.,一般地，对于贝努里概型，有如下公式：,定理,如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为：,二项分布,推导如下：,且两两互不相容.,称上式为二项分布. 记为,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.,例: 某类灯泡使用2000小时以上视为正品。已知有一大批这类的灯泡,次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率。,解: 设X为20只灯泡中次品的个数 ,则,X b (20, 0.2)，,解,图示概率分布,例,解,经计算得,二项分布的图形,解,因此,例,一、泊松分布的定义及图形特点,设随机变量X所有可能取的值为0,1,2, , 且概率分布为：,其中 0 是常数, 则称 X 服从参数为 的 泊松分布, 记作X .,3. 泊松分布,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,例： 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到3次寻的概率. (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.,解:,(1)PX=3=p(3;3)=(33/3!)e-30.2240 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解:,例 10,某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.,PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，1837年由法国数学家泊松引入的 .,二、二项分布与泊松分布,命题,对于二项分布B(n,p), 当n充分大,p又很小时,对任意固定的非负整数k,有近似公式,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,从上面我们可以看到,一般要求 n10,p0.1,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000