素法6-2几何应用面积,长度.ppt

,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.1 定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、定积分应用的元素法,第六章 定积分的应用,设曲边梯形是由连续曲线,两直线,所围成 .,则其面积 A =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,回顾:曲边梯形求面积的问题,及x轴以及,1) 分割.,区间 a , b同时将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,且A= Ai,2) 近似.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面积表示为定积分的步骤如下:,3) 求和(求近似和).,4) 取极限.,取,3)部分量可近似表示为,一、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 与变量x(或)有关,且定义在区间a , b 上 ;,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即总量等于部分量的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可推广到无穷区间,第二步 求对应于x,x+dx上局部量U 的近似值,微分表达式,第三步,以微元为被积表达式在U定义的 区间a,b 上积分,这种分析问题的方法称为元素法 (或微元法),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,称元素或微元,(微元法),二 、定积分应用的元素法,第一步 确定U 定义的区间a,b,(注:选取不同的积分变量,U 所定义的区间可能不同),不妨设,选x为积分变量,注:,但要求:,是U的近似值，,是U的线性主部,三、体积,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.2 定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A ,一般地,曲线y=f1(x)、 y=f2(x)及 x=a,x=b (ab)围成图形(右下图),面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:选x为积分变量,A=?,+,曲线,与,围成平面图形的面积.,举一个例子:,曲线,与,围成S.,解:,两曲线的交点为(-1,1)、(0，0)、(2，4),所以,=,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积 .,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,旋转面的面积 (补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积 .,取侧面积元素:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,例7: 设有曲线,过原点作其切线 , 求,由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一,周所得到的旋转体的表面积.,解:,过,点的切线为:,将(0,0)点代入得,则切线方程为:,则表面积,1,x,y,o,2,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,光滑曲线的概念:P171,曲线表示为参数方程,且,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(P168),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算曲线,的弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 平面图形的面积,参数方程(按直角坐标用参数方程换元),极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上