商业与经济学的应用.ppt

商業與經濟學的應用,4.5,4.5 商業與經濟學的應用,學習目標 求解商業與經濟學的最佳化問題。 求解需求函數中需求的價格彈性。 辨認基本的商業術語與公式。,P.4-35,第四章 導數的應用,商業與經濟學的最佳化,本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。,P.4-35,第四章 導數的應用,範例 1 求最大收入,某公司認為某產品的總收入 (美元) 可表示為 R x3 450x2 52,500x 其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？,P.4-35,第四章 導數的應用,範例 1 求最大收入 （解）,收入函數的草圖如圖 4.37 所示。,P.4-35 圖4.37,第四章 導數的應用,範例 1 求最大收入 （解）,2. 主要方程式為收入函數，即 R x3 450x2 52,500x 3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。 4. 主要方程式的可行定義域為 0 x 546 可行定義域 此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.37。,P.4-35,第四章 導數的應用,5. 為了使收入最大，先求得臨界數。 在可行定義域中的臨界數為 x 350，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。,範例 1 求最大收入 （解）,P.4-35,第四章 導數的應用,檢查站 1,求使收入函數 R x3 150x2 9375x 最大化的產量，其中總收入(美元)，x 是單位生產 (或售出) 成本，試問最大收入為何？,P.4-35,第四章 導數的應用,商業與經濟學的最佳化,為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均成本函數 (average cost function) 定義為 其中 C f(x) 為總成本函數，x 為產量。,P.4-36,第四章 導數的應用,範例 2 求最小平均成本,某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元) 可表示為 C 800 0.04x 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。,P.4-36,第四章 導數的應用,1. 令 C 為總成本，x 為產量， 為單位平均成本。 2. 主要方程式為 主要方程式,範例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導數的應用,3. 將 C 代入主要方程式，可得 4. 函數的可行定義域為 x 0 可行定義域 因為公司的產量不可能為負值。,範例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導數的應用,5. 再求臨界數如下所示。,範例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導數的應用,範例 2 求最小平均成本 （解）,由題意可知 x 值必須為正數，另外 的圖形如圖 4.38 所示。即產量在 x 2000 時有最小的單位平均成本。,P.4-36,第四章 導數的應用,範例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36 圖4.38,第四章 導數的應用,學習提示,為了驗證在範例 2 中 x2000 有最小的平均成本，可代入幾個 x 值來求 C 值。譬如，當 x 400 時的單位平均成本為 $2.12，但在 x2000 時，每單位平均成本為 $0.84。,P.4-36,第四章 導數的應用,檢查站 2,求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為C 400 0.05x 0.0025x2。 其中 C 為生產 x 單位的成本 (美元)。,P.4-36,第四章 導數的應用,範例 3 求最大收入,某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。,P.4-37,第四章 導數的應用,範例 3 求最大收入（解）,1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收入。 2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為 R xp 主要方程式,P.4-37,第四章 導數的應用,3. 當單價 p $10 時的銷售量為 x 2000，當單價 p $9.75 時的銷售量 x 2250。再由點斜式來建立需求方程式。 將上式代入收入方程式可得,範例 3 求最大收入（解）,P.4-37,第四章 導數的應用,4. 收入方程式的可行定義域為 0 x 12,000 可行定義域 令利潤函數為零所解出的x截距即為此區間範圍。 5. 欲使收入最大化，先求臨界數。,範例 3 求最大收入（解）,P.4-37,第四章 導數的應用,範例 3 求最大收入（解）,由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為 p = 12 0.001x 需求函數 = 12 0.001(6000) 將 x 6000 代入 = $6 單價,P.4-37,第四章 導數的應用,範例 3 求最大收入（解）,P.4-37 圖4.39,第四章 導數的應用,檢查站 3,若範例 3 的單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。,P.4-37,第四章 導數的應用,商業與經濟學的最佳化,在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是R 1000(12p p2)。求函數的臨界數之後可知 p 6 時的收入最大。,P.4-37,第四章 導數的應用,某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為 ，其中 p 為單價(美元)， x 為數量。生產 x 單位的成本為 C 0.5x 500。試問可得最大利潤的價格為何？,範例 4 求最大利潤,P.4-38,第四章 導數的應用,範例 4 求最大利潤 （解）,1. 令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為數量，C 為生產 x 單位產品的總成本。 2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式 P R C 主要方程式,P.4-38,第四章 導數的應用,範例 4 求最大利潤 （解）,3. 以 R xp 改寫主要方程式為 4. 函數的可行定義域為 127 x 7872 (當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。,P.4-38,第四章 導數的應用,5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。 由圖 4.40 的利潤函數可知，在 x 2500 時有最大利潤，對應的單價為,範例 4 求最大利潤 （解）,P.4-38,第四章 導數的應用,範例 4 求最大利潤 （解）,P.4-38 圖4.40,第四章 導數的應用,代數技巧,範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。,P.4-38,第四章 導數的應用,由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。 其中 p 為單價 (美元)，x 為數量， C 為成本 (美元)。,檢查站 4,P.4-38,第四章 導數的應用,為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R C 微分再令其為零，即 當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.41。,商業與經濟學的最佳化,P.4-38,第四章 導數的應用,商業與經濟學的最佳化,P.4-38 圖4.41,第四章 導數的應用,需求的價格彈性,經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性 (price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈性 (elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無彈性 (inelastic)。,P.4-39,第四章 導數的應用,正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即,需求的價格彈性,P.4-39,第四章 導數的應用,再利用此近似可得,需求的價格彈性,P.4-39,第四章 導數的應用,學習提示,在需求的價格彈性的討論中，我們假設需求量增加，則價格減少。因此，價格函數 p f (x) 皆遞減且 dp/dx為負值。,P.4-39,第四章 導數的應用,需求的價格彈性,P.4-39,第四章 導數的應用,需求的價格彈性,需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.42 和下列的敘述： 1. 若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。 2. 若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。,P.4-39,第四章 導數的應用,需求的價格彈性,P.4-39 圖4.42,第四章 導數的應用,某產品的需求函數為 ，0 x 144，其中 p 為單位價格，x 為需求量(如圖 4.43)。 a. 判斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。 b. 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。,範例 5 比較彈性與收入,P.4-40,第四章 導數的應用,範例 5 比較彈性與收入,P.4-40 圖4.43,第四章 導數的應用,a. 需求的價格彈性為,範例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40,第四章 導數的應用,範例 5 比較彈性與收入 （解）,在區間 0, 144 內，因需求為單位彈性或| | 1，所以 的唯一解為 x 64，因此當 x 64 時可得需求的單位彈性。,P.4-40,第四章 導數的應用,對區間 (0, 64) 內的 x 值來說， 這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說， 這說明當 64 x 144，需求無彈性。,範例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40,第四章 導數的應用,範例 5 比較彈性與收入 （解）,b. 由 (a) 的結果可知，在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的，在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減的，以及當 x 64 時收入函數有極大值，如圖 4.44 所示。,P.4-40,第四章 導數的應用,範例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40 圖4.44,第四章 導數的應用,需求函數為 ，0 x 324，其中 p 為單位價格，x 為數量。試判斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。,檢查站 5,P.4-40,第四章 導數的應用,商業術語