高中数学考前过关训练（三）（含解析）新人教A版选修.docx

考前过关训练(三)导数及其应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2016临沂高二检测)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程是()A.y=3x-1B.y=-3x+5C.y=3x+5D.y=2x【解析】选A.y=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-312+61=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4.而y=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能为()【解析】选D.原函数的单调性是:当x0时,单调性变化依次为增、减、增.故当x0;当x0时,f(x)的符号变化依次为+,-,+.3.如图所示是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于()A.23B.43C.83D.163【解析】选C.由图象知f(x)=0的根为0,1,2,所以d=0.所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).所以x2+bx+c=0的两根为1和2.所以b=-3,c=2.所以f(x)=x3-3x2+2x,则f(x)=3x2-6x+2.因为x1,x2是方程f(x)=0的两根,所以x1+x2=2,x1x2=.所以+=(x1+x2)2-2x1x2=22-2=.4.(2016聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0对任意正数a,b,若ab,则必有()A.af(a)f(b)B.bf(b)f(a)C.af(b)bf(a)D.bf(a)af(b)【解析】选C.设g(x)=xf(x),则由g(x)=xf(x)+f(x)0,知g(x)在(0,+)上递减.又0ab,f(x)0,所以bf(b)af(a),所以af(b)bf(b)af(a)0,x20,所以k1k2-1,所以函数y=lnx不具有T性质.对于C,函数y=ex,y=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.对于D,函数y=x3,y=3x2,k1=3x12,k2=3x22,显然k1k2-1,所以函数y=x3不具有T性质.6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为()A.12B.1C.21D.2【解析】选C.设圆柱高为x,即长方形的宽为x,则圆柱底面周长即长方形的长为=6-x,所以圆柱底面半径:R=,所以圆柱的体积V=R2h=x=,所以V=,当x6时,V0,函数单调递增;当2x6时,V6时,函数无实际意义,所以x=2时体积最大,此时底面周长=6-2=4,该圆柱底面周长与高的比:42=21.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016海南高二检测)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是.【解析】要使f(x)=3ax2+1=0有解,则x2=-0,所以函数f(x)有极值的充要条件是a0.答案:a0,所以a0.答案:(0,+)9.(2016温州高二检测)函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.【解析】因为y=2x,所以点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列ak是等比数列,首项a1=16,公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-2时,都取得极值.(1)求a,b的值.(2)若x-3,2时,都有f(x)1c-12恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2+2ax+b,根据题意有即解得(2)由(1)知f(x)=3x2+3x-6,令f(x)=0得x=-2或x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,2)2f(x)+0-0+f(x)+c极大值c+10极小值c-2+c所以f(x)在-3,2上的最小值为c-.即-c-,解得c.11.已知函数f(x)=12x2+lnx.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值与最小值.(2)求证:在区间1,+)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3的图象的下方.【解析】(1)因为f(x)=x2+lnx,所以f(x)=x+,在1,e上,f(x)0,所以函数f(x)是增函数,所以f(x)max=f(e)=e2+1,f(x)min=f(1)=.(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,则F(x)=x+-2x2=.因为当x1时,F