高中数学第二章抛物线课时提升作业（十六）2.3.2.1抛物线的简单几何性质检测（含解析）.docx

课时提升作业(十六)抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是()A.2 B.4 C.8D.1【解析】选C.由题意|AB|=2p=8.2.(2015兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10【解析】选B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,因为过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+2=8.3.(2015阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48【解析】选C.不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=.代入y2=2px得y=p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故p=6,所以抛物线的准线方程为x=-3,故SABP=612=36.4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是()A.蟺6或5蟺6B.蟺4或3蟺4C.蟺3或2蟺3D.蟺2【解题指南】设出直线的方程,利用抛物线的定义把弦长为12转化为x1+x2+3=12求解.【解析】选B.抛物线的焦点为.由题意知弦所在直线的斜率存在.设直线方程为y=kx-32,与方程y2=6x联立得:4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0.设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=,所以x1+x2+3=+3=12.所以k2=1,所以k=1.故弦所在直线的倾斜角是或.5.(2015安庆高二检测)设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是()A.34B.-34C.3D.-3【解题指南】直接应用结论“x1x2=,y1y2=-p2”求解.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知p=1,则=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=-p2=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:27.已知直线y=3(x-2)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,点F为C的焦点,若=(|),则=.【解析】如图,设AF=n,BF=m,AA1l,BB1l,FNAA1于N,BMx轴于M.则AN=n-4,FM=4-m.又AFN=FBM=30,所以所以所以=3.答案:38.(2015郑州高二检测)过抛物线x2=2py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为122,则p=.【解析】依题意,抛物线的焦点F的坐标为0,p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-=x,代入抛物线方程得y2-3py+=0,故y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形ABCD有一个内角为45.故|CD|=22|AB|=224p=2p,梯形面积为(|BC|+|AD|)|CD|=3p2p=3p2=12,解得p=2.答案:2【补偿训练】已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.【解析】因为y2=4x,所以p=2,F(1,0),又因为|AF|=2,所以xA+=2,所以xA+1=2,所以xA=1.即ABx轴,点F为AB的中点,所以|BF|=|AF|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.【解析】设抛物线y=x2上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为d,则d=.当x0=时,dmin=.【一题多解】由消去y,得x2-x-m=0,令=1+4m=0得m=-,所以切线方程为x-y-=0,所以最短距离为d=.10.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为A32,6,求抛物线与双曲线的方程.【解析】由题意知,抛物线焦点在x轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y2=2px(p0),将交点A代入得p=2,故抛物线方程为y2=4x,因为双曲线的方程为-=1(a0,b0),所以双曲线的焦点坐标为F1(-1,0)和F2(1,0),且c=1.又点A也在双曲线上,因此由定义可得2a=|AF1|-|AF2|=-=-=1,所以a=,b=32,因此,双曲线的方程为4x2-=1.【补偿训练】等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上.若该三角形的斜边长为4,求此抛物线的方程.【解析】如图,设等腰直角三角形OAB的顶点A,B在抛物线上.根据抛物线的性质知A,B关于x轴对称.由题意得A(2,2)在抛物线y2=2px上,所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015潍坊高二检测)边长为1的等边三角形AOB,O为原点,ABx轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是()A.y2=36xB.y2=-36xC.y2=36xD.y2=33x【解析】选C.由抛物线的对称性及ABx轴知,抛物线的焦点在x轴上.设方程为y2=nx(n0).由题意知,可令OA的方程为y=33x,且OA=1.得A或A,代入y2=nx,得n=36,所以抛物线方程为y2=36x.【补偿训练】已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是()A.254B.252C.258D.25【解析】选A.抛物线的焦点坐标为(2,0),直线l过焦点F,直线l的方程为y=(x-2).由得B点的坐标为.所以|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+=.所以AB的中点到准线的距离为.2.(2015冀州高二检测)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解题指南】由直线与圆的位置关系建立参数p的不等关系,并借助抛物线的定义求解.【解析】选C.圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2.由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015石家庄高二检测)已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是.【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设Ay024,y0,则=y024,y0,=1-y024,-y0,由=-4,得y0=2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).答案:(1,2)或(1,-2)4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.【解题指南】由于该问题是中点弦问题,故可利用“点差法”求解.【解析】由题意知抛物线的方程为y2=4x,设直线l与抛物线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2,两式相减得,-=4(x1-x2),所以=1,所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.答案:y=x三、解答题(每小题10分,共20分)5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.【解题指南】先证明x轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长.【解析】如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又OA=OB,所以x12+y12=+,即-+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x10,x20,2p0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由此得AOx=30,所以y1=33x1,与=2px1联立,解得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.即三角形的边长为4p.6.点M(m,4)(m0)为抛物线x2=2py(p0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.(1)求m与p的值.(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求FMN的面积.【解析】(1)由抛物线定义知,|FM