矢量分析旋度散度梯度.ppt

1.1 矢量表示法和运算 1.2 通量与散度,散度定理 1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 1.4 方向导数与梯度,格林定理 1.5 曲面坐标系 1.6 亥姆霍兹定理,第一章 矢 量 分 析,Chapter 1 Vector Analysis,基本要求,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。,了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。,物理量的表示,矢量：大写黑体斜体字母 A 大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母 u 单位矢量：小写上加倒勾,若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。 例如在直角坐标系中, 矢量A的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 则,矢量的模 Magnitude of vector,1 .1 矢量表示法及其运算,1 .1 .1 矢量表示法及其和差,A的单位矢量 Unit vector,和或差: Vector addition or subtraction,则,图 1 -2 矢量的相加和相减,矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。,它符合交换律:,1 .1 .2 标量积和矢量积,定义：标量积AB是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角AB(取小角, 即AB)的余弦:,一、标量积 Dot production,特点：,1、,|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量）等于AB/|A|,2、,并有,互相垂直的两个矢量的点积为0,3、,4、,定义：矢量积AB是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角AB()的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋关系, 为A , B所在平面的右手法向 :,1、它不符合交换律。 由定义知,二、矢量积 Cross production,特点：,2、,AB各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是yz, 其第二项下标则次序对调: zy, 依次类推。并有,图 1 -3 矢量乘积的说明,矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production,矢量三重积: Vector triple production,公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。,1 .1 .3 三重积,解：,AB在C上的分量为：,例：,解：,由P=AX，有,A P A(A X)=(AX)A-(AA)X=pA- (AA)X,例,作业,P31 1-1 1-3,1 .2 通量与散度, 散度定理 Flux, divergence of a vector field, divergence theorem,1.2.1 矢量场的通量,矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述,矢量场的通量,定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则,为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。,若S 为闭合曲面,物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。,在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。,通过闭合面S的通量的物理意义：,在直角坐标系中，通量可以写成,a) 若 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；,b) 若 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；,c) 若 ，闭合面无源。,1 .2 .2 散度 Divergence of a vector field,2、散度的物理意义,1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；,2) 矢量场的散度是一个标量；,3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；,1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即,3、直角坐标系中散度的表示,散度可用算符 哈密顿 表示为,哈密顿,拉普拉斯2,正源,负源,无源,散度的基本运算公式,C为常矢量,k为常数,u为标量,上式称为散度定理, 也称为高斯公式。,1 .2 .3 散度定理 The divergence theorem,既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即,从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。 如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。,散度定理：,散度定理的物理意义：,点电荷q在离其r处产生的电通量密度为,求任意点处电通量密度的散度D，并求穿出r为半径的球面的电通量,解,例,可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。,这证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷q。,解：,例：,矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为,1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理 Curl, circulation, The Stokess theorem,1 .3 .1 环量 Curl of a vector field,为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积S趋近于零, 取极限,这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度(curl或rotation):,1 .3 .2 旋度的定义和运算,1、定义：,2、旋度的物理意义,矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。,矢量A的旋度可表示为密勒算子与A的矢量积, 即,计算A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得,3、旋度的计算,第一章 矢 量 分 析,即,4、旋度运算规则:,在直角坐标系中有,任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。,任何旋度场一定是无散场,一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）； 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。,4、旋度与散度的区别：,因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即,此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。,1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem,自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为,求任意点处(r0)电场强度的旋度E。,例,解：,可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故,这说明点电荷产生的电场是无旋场。,因,证明下述矢量斯托克斯定理：,式中S为包围体积V的封闭面。 证 设C为一任意常矢，则,从而有,（1-37）,例1 .4,根据散度定理，上式左边等于,于是得,由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。,1 .4 方向导数与梯度, 格林定理,标量场(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为 沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关, 设,方向导数,一、方向导数与梯度,梯度 gradient,是一个矢量 的模就是在给定点的最大方向导数 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变化率最大的方向。,梯度运算规则:,2、梯度的物理意义,1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；,2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。,任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 任何梯度场一定是无旋场。,梯度的重要性质,将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度与另一标量函数的乘积, 则有,取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得,二、 格林定理 The Greens theorem,(1),沿n方向的方向导数,格林(G .Green)第一恒等式 Greens first identity,S是包围体积V的封闭面, 是封闭面S的外法线方向单位矢量。 适用于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数和,(2),说明：,把式中的与交换位置, 有,格林第二恒等式 Greens first identity,(1)(2)两式相减 得,设矢量函数P和Q在封闭面S所包围的体积V内有连续的二阶偏导数, 则有,矢量格林定理,矢量格林第二定理:,利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。 如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。,参看图1, 场点P(x, y, z)与源点P(x, y,z)间的距离为|R |, 试证,这里表示对带撇坐标(x, y, z)作微分运算(将P取为定点, P为动点):,例：,证,即,同理可得,例:,求P点的电位梯度。,解 ：,在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为,图 1 -8 柱坐标系,1 .5 曲面坐标系,1 .5 .1 圆柱坐标系Cylindrical coordinate system,三个单位矢量：,矢量P三个坐标分量,各物理量的变化范围：,一、坐标系,矢量A在柱坐标系中的表示为：,以坐标原点为起点, 指向P点的矢量r, 称为P点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中P点的位置矢量是,对任意的增量d , d , dz, P点位置沿 , , 方向的长度增量(长度元)分别为,三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则:,位置矢量,二、矢量表示及相关物理量的表示,长度增量(长度元),每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉梅(G .Lame)系数, 分别为,与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是,度量系数(拉梅系数)：,面积元和体积元：,图 1 -9 球面坐标系,1 .5 .2 球面坐标系 Spherical coordinate system,三个单位矢量：,矢量P三个坐标分量,各物理量的变化范围：,一、坐标系,遵循右旋法则:,矢量A在球坐标系中的表示 ：,二、矢量表示及相关物理量的表示,长度增量(长度元),度量系数：,面积元和体积元：,图 1 -10 三种坐标间的变换,1 .5 .3 三种坐标的变换及场论表示式,直角坐标柱坐标,直角坐标球坐标,在柱坐标中三个长度元分别为d , d和dz, 因而其算子相应地换为,球坐标长度元为dr , rd和r sind, 故其算子为,算子,柱坐标中矢量A的散度和旋度,为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是,球坐标中矢量A的散度和旋度,在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离rl处的电位为,求其电场强度E(r, , )。,解 ：,例 1 .7,亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即,1 .6 亥姆霍兹定理,二. 矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1) 调和场,若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场,如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即,函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。,无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即,这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。 标量位u的积分表达式：,2) 有源无旋场,由 ，有,函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。 无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋场,一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即,如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即,3)无源有旋场,可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi 的叠加，即,其中Fs和Fi分别满足,于是,因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得,常用的矢量恒等式,矢量分析小结,基本内容,矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算 矢量场的散度和旋度 标量场的梯度 曲面坐标系 亥姆霍兹方程,基本要求,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。,了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。,本章重要公式,例,利用直角坐标，证明,证明：,例：,给定两矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez ，求它们之间的夹角和A在B上的分量。,解：,A与B之间的夹角为,A在B上的分量为,例：,求标量函数x2yz的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 定出；求点(2,3,1)的方向导数值,解：,例：,利用散度定理及斯托克斯定理证明：,1）,2）,证明:,对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理,由于曲面S是任意的，故有,2) 对于以任意闭合曲面S为边界的体积V，由散度定理有,其中S1和S2如图1所示。由斯托克斯定理，有,由题图1可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有,S1,S2,C2,C1,n1,n2,所以得到,由于体积V是任意的，故有,习题及答案,已知 , 求：,1-5,解：,(a),(b),(c),(d),1-8,或,1-13,1-14