生活中的优化问题举例.ppt

第三章 导数及其应用,高中数学选修1-1,3.4 生活中的优化问题举例,二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？ 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背景知识。 应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难 应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。 应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模型，这种抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。,应用题因为把实际问题抽象出数学问题，但有时候抽象出来容易反而是解数学问题难，原因是我们把学过的数学知识忘记的差不多了。所以我们先复习以前学过的知识。,数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质的和几何角度本质。,代数角度本质是完全平方数大于等于0，几何角度本质是风车图案。,复习以前的知识。,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立,此不等式称为重要不等式,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果 也可写成,a0 ,b0 ,探究3,概念,(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.,(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,a,b,o,A,B,P,Q,对基本不等式的几何意义作进一步探究:,如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP, 则PQ=_,半径AO=_,几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质和几何角度本质。,代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大于等于0，几何角度本质是半径不小于半弦。,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“”,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“”,巩固练习,1. ，当 取什么值， 的值最小？最小值是多少?,引申：若x0呢？,呢？,(2) 已知 与2的大小关系,并说明理由.,(3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由.,以前知识复习完毕。,1、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最小值还是采用老办法好,老题还是老办法好。如果次数是三次求函数的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利用序轴标根法，尽量数形结合，新题新办法即导数法。根求不出来就不要求。用字母表示。,2、如果函数是 ， 一、图像与对勾函数联系，利用图像求极值、最值。 二利用基本不等式求极值、最值。 三、与函数 的图像的区别。同学们我以a、b是具体数字来讲解。 四、用导数求也要结合图像。,总结与本节课有关的知识。,新课引入:,导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.,1.几何方面的应用,2.物理方面的应用.,3.经济学方面的应用,(面积和体积等的最值),(利润方面最值),(功和功率等最值),例1海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？,解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。,求导数，得,于是宽为,因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,解法二：由解法(一)得,问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.,）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是,令,当,当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r时，f (r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低,1.半径为cm 时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,未命名.gsp,1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?,探究（三）：磁盘的最大存储量问题,【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示.,这是应用题第二难，背景知识我们了解太少。,解:,存储量=磁道数每磁道的比特数.,设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：,(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,(2) 为求f(r)的最大值，先计算