哈工大理论力学第三章.ppt

内容 平面任意力系的简化与平衡,1.掌握力的平移定理,平面力系的简化方法与简化结果。,2.正确应用各种形式的平衡方程求解平面力系的平衡问题。,要求,3.物体系统平衡问题的求解。,第三章 平面任意力系,平面任意力系实例,2-3 平面任意力系向作用面内一点简化,1. 力的平移定理,附加力偶矩：M=MB(F)=Fd,F= F=F,F,d,B,A,F,M,可以把作用在刚体上点A的力F平行移到B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,2. 平面任意力系向作用面内一点简化,F2,各力向矩心平移,平面汇交力系,平面力偶系,2. 平面任意力系向作用面内一点简化,F2,各力向矩心平移,平面汇交力系,平面力偶系,F2,平面一般力系向矩心简化,O,平面汇交力系,平面汇交力系,平面力偶系,O,平面力偶系,主矢FR,主矩MO,O,MO=Mi,FR=Fi,F2,O,平面汇交力系,平面汇交力系,主矢FR,O,利用合力投影定理计算主矢FR,FRx,FRy,F2,O,F2y,F1y,F2x,F2x,Fny,Fnx,Fix,Fiy,平面力偶系,O,平面力偶系,主矩MO,O,MO=Mi,F2,O,d1,di,主矩MO的计算,M1=F1d1=MO(F1),Mi=Fidi=MO(Fi),MO=MO(Fi),F2,平面一般力系向作用面内一点简化,O,矩心,简化结果,主矢FR,主矩MO,FRx=Fx,FRy=Fy,主矢FR的计算,主矩MO的计算,MO=MO(Fi),FRx,FRy ,平面固定端约束,平面固定端约束,=,固定端简图,三个约束反力,A,3.平面任意力系简化结果分析,(1) FR = 0, MO 0-合力偶M=MO，与O点无关。,O,O,(2) FR 0, MO= 0-合力FR = FR ，作用线过O点。,(3) FR 0, MO 0-,(4) FR = 0, MO= 0-平衡。,将FR平移到另一点A， 使附加力偶M=-MO ,合力FR = FR ，作用线不过O点，作用线过A点。,O,4.平面任意力系的合力矩定理,O,FR 0, MO 0-,将FR平移到另一点 A，使附加力偶 M=- MO ,合力FR = FR ，作用线过A点。,合力FR 对O点之矩： MO (FR) = FR d= MO,主矩MO的计算,MO=MO(Fi),合力矩定理,MO (FR) =MO(Fi),例3-1,已知：图示重力坝 P1=450 kN , P2=200 kN , F1=300 kN , F2=70 kN,求：力系的合力,合力与基线OA的交点到点O的距离x，,合力作用线方程,例3-1,解：（1）向O点简化， 求主矢和主矩。,主矩,（2）求合力及其作用线位置,（2）求合力作用线方程,例 求线性分布荷载的合力。,A,B,1.求合力的大小,FRx=Fx=0,FRy=Fy,2.求合力作用线的位置,MA (FR) = MA(F),MA(F),MA (FR),合力大小为面积， 作用线通过形心。,2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平面任意力系平衡的充要条件是：,即：,力系的主矢和对任一点的主矩都等于零,FR =0, MO= 0,MO=MO(F),因为,有,Fx=0,MO=0,Fy=0,平面任意力系的平衡方程,平面任意力系的平衡方程,Fx=0,MO=0,Fy=0,是平衡方程基本形式,投影式,力矩式,平面力系平衡方程的意义,不动,Fx= 0,Fy= 0,不动,MO= 0,不转动,基本形式平衡方程,二矩式平衡方程,MA= 0,MB= 0,Fx = 0,注意：投影轴x轴不能与A,B两点的连线垂直。,不行,可以,平面力系平衡方程形式,Fx=0,MO=0,Fy=0,基本形式平衡方程,三矩式平衡方程,MA= 0,MB= 0,MC = 0,注意： A,B,C三点不能共线。,不行,平面力系平衡方程形式,Fx=0,MO=0,Fy=0,平面平行力系,平面平行力系中各力的作用线互相平行,平面平行力系平衡方程,Fx= 0 自然满足,MO= 0,设各力的作用线与y轴平行, Fy = 0,二矩式平衡方程,MA= 0,MB= 0,注意：A,B两点的连线不能与各力平行,不行,可以,平面力系平衡方程形式,例2-8,已知：图示起重机 P1=10 kN , P2=40 kN , A为止推轴承 ， B为轴承,求：A,B的反力,解：取起重机，画受力图。,Fx= 0，,FAx+FB= 0,Fy= 0，,FAyP1P2= 0,MA= 0，,FB5P11.5P23.5= 0,解得：,FB= 0.3P10.7P2=31 kN,FAx=FB= 31 kN,FAy=P1+P2= 50 kN,例2-9,已知：梁AB如图所示 。M=Pa,求：A,B的反力,解：取梁，画受力图。,Fx= 0，,FAx= 0,Fy= 0，,FAy2qaP+FB= 0,MA= 0，,FB4aPaP2a2qaa= 0,解得：,平面平行力系,例2-10,已知：图示刚架自重 P=100 kN , M=20 kN.m , F=400 kN , q=20 kN/m,求：固定端A的反力,解：取刚架，画受力图。,Fx= 0，,FAxFcos 300 +F1= 0,Fy= 0，,FAy Fsin 300 P= 0,MA= 0，,MAMF11+Fcos 300 3 +Fsin 300 1 = 0,FAx=Fcos 300 F1= 316.4 kN,FAy= Fsin 300 +P= 300 kN,MA=M+F11 3Fcos 300 Fsin 300 = 1188 kN.m,（1）一个平面力系有三个独立的平衡方程，,（2）按具体情况选取适当形式的平衡方程，,可求解三个未知量。,力求达到一个平衡方程只含一个未知量，,以简化计算。,单个物体的平衡,例题：用平面任意力系解例2-1 已知：AC=CB=a，F=10kN, 各杆自重不计,求：CD杆及铰链A的受力。,解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。,得,MA= 0，,FC sin450 a F2a = 0,Fx= 0，,FAx+FC cos450 = 0,Fy= 0，,FAy+ FC sin450 P= 0,FAx=FC cos450 = 20 kN,FAy= P FC sin450 = 10 kN,例题,已知：图示起重机 P1=700 kN , P2=200 kN,求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；,（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。,解：取起重机 ，画受力图。,满载时，FA=0为不安全状况,MB= 0，,P3min8+2P110P2= 0,P3min= 75 kN,例题,P1=700 kN , P2=200 kN,空载时，FB=0为不安全状况,MA= 0，,P3min42P1= 0,75 kNP3 350 kN,P3max= 350 kN,（2）P3=180kN,4FA+8P3+2P110P2= 0,MB= 0，,FA=(8P3+2P110P2)/4= 210 kN,FB+FAP3P1P2= 0,Fy= 0，,FB=870 kN,1. 物体系的平衡,物体系统平衡，系统内的每部分物体也平衡。,可以对系统整体建立平衡方程，也可以对系统内,由n个物体组成的系统可以建立3n个独立的平衡方程，,可以求解3n个未知量。,按具体情况选取适当形式的平衡方程，,力求一个平衡方程只含一个未知量，简化计算。,的每部分物体建立平衡方程。,2-5 物体系的平衡 静定和超静定问题,静定问题未知量数目等于独立平衡方程数目，,2. 静定和超静定问题,超静定问题未知量数目多于平衡方程数目，,所有未知量都能由平衡方程求出。,未知量不能全部由平衡方程求出。,静定,超静定,静定,超静定,例2-11,已知：图示曲轴冲床 OA=R，AB=l，F 不计物体自重与摩擦，系统在图示位置平衡,求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力， 连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。,解：取冲头B, 画受力图,Fy= 0，,FFB cos = 0,Fx= 0，,FNFB sin = 0,FN=FB sin,例2-11,取轮，画受力图,MO= 0，,FA cos RM= 0,Fx= 0，,FOx+FA cos = 0,FOy=F,Fy= 0，,FOy+FA sin = 0,AB为二力杆，有,代入上式，得,M=FR,例2-12,FB=45.77 kN,已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kN.m，l=1m,求：A、B的约束反力,解：作受力图,先取CD，作受力图,MC= 0，,l FB sin 60o 2lF cos 30o qll/2= 0,解得,例2-12,FB=45.77 kN,已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kN.m，l=1m,求：A、B的约束反力,再取整体，,MA= 0，,已解得,Fx= 0，,FAxFB cos 60o F sin 30o = 0,Fy= 0，,FAy+FB sin 60o F cos 30o = 0,FAx=32.89 kN,FAy= 2.32 kN,MA M 2ql 2l+FB sin 60o 3l F cos 30o 4l = 0,MA=10.37 kN.m,例,已知：P1 ，P2=2P1，r，R=2r， P=20P1，压力角=20o,求：物C 匀速上升时，作用于 轮I上的力偶矩M； 轴承A，B处的约束力。,解：取轮、及重物C，,Fy= 0，,FBxFr = 0,Fx= 0，,FByPFtP2 = 0,MB= 0，,PrFtR= 0,画受力图,得,FBy=P+Ft+P2 =32P1,例,取轮，,Fy= 0，,FAxFr = 0,Fx= 0，,FAy+FtP1 = 0,MA= 0，,MFtr= 0,画受力图,已解得,M=Ftr= 10P1r,FAx=Fr =3.64P1,FAy=Ft+P1 =9P1,M,A,P1,K,Fr,Ft,例,已知：P=60kN，P1=20kN ， P2=10kN, F=10kN,求：固定铰支座A，B的约束力。,解：取整体,画受力图。,MA= 0，,12FBy5F2P10P4P26P1= 0,FBy=(5F2P10P4P26P1)/12,=77.5 kN,Fy= 0，,FAy+FByPPP2P1= 0,FAy=P+P+P2+P1FBy= 72.5 kN,Fx= 0，,FAxFBx+F= 0,例,P=60kN，P1=20kN ， P2=10kN, F=10kN,取吊车梁, 画受力图。,MD= 0，,8FE2P24P1= 0,FAy= 72.5 kN,FE=(2P24P1)/8=12.5 kN,已解得,FBy= 77.5 kN,再取BC部分, 画受力图。,MC= 0，,6FBy10FBx4P4FE= 0,FBx=(6FBy4P4FE)/10=17.5 kN,再考虑整体,Fx= 0，,FAxFBx+F= 0,FAx=FBxF= 7.5 kN,例2-17,求证：AC杆始终受压，且大小为F 。,已知：a , b , F, 各杆重不计，B, D 处光滑；,解：取AB杆、AD杆和销钉A, 画受力图,ME= 0，,二力杆,FB、FD未知,取AB杆, 画受力图,MA= 0，,FBbFx = 0,求证：AC杆始终受压，且大小为F 。,再取整体, 画受力图。,MC= 0，,FDbFx = 0,F,由AB杆平衡, 得,代入,得,FA1=F,说明AC杆始终受大小为F的压力，且与x无关。,2-6 平面简单桁架的内力计算,桁架是一种由若干直杆在其两端用铰链联结 而成的结构。在平面桁架中，引用如下假定： （1）各杆轴线都是绝对平直。 （2）各杆两端用理想铰相互联结。 （3）载荷和支座反力都作用在节点上并位于 桁架平面内。 （4）各杆件自重不计或平均分配在节点上。 桁架的各杆都是只承受轴力的二力杆,桁架的特征,1. 节点法,桁架的内力计算方法,截面法,节点法,原理截取桁架的节点为隔离体， 利用各结点的平衡条件来计算各杆内力。 作用于每一节点的各力组成一个平面汇交 力系，可以列两个平衡方程进行解算。 为避免解算联立方程，应从未知力不超过 两个的结点开始，依次推算。,例2-18 平面桁架如图，F =10kN 求: 各杆内力,解：(1) 求支反力,取整体，画受力图,Fx= 0,FBx= 0,MA= 0，,4FBy2F=0,FBy=5kN,MB= 0，,4FA+2F=0,FA=5kN,取节点A,Fy= 0,F1sin 30o +FA=0,F1=10 kN,Fx= 0,F1cos 30o +F2=0,F2 =8.66 kN,FBy=5kN,FA=5kN,取节点A , 得,Fy= 0,F1=10 kN,Fx= 0,F2 =8.66 kN,取节点D,F5 =F2 =8.66 kN,F3 =F =10 kN,取节点C,Fx= 0,F4cos 30o F1cos 30o =0,F4= F1=10 kN（压力）,2. 截面法,通过需求内力的杆件作适当截面，将桁架 分为两部分，取其中任一部分为隔离体。根据 它的平衡条件去求未知的内力。 截面法适用于简单桁架中只需计算少数杆 件的内力等情况。,例2-19 平面桁架如图，FE =10kN, FG =7kN, FF =5kN, 求: 1, 2, 3杆内力,解：(1) 求支反力,取整体，画受力图,Fx= 0,FAx+FF=0,Fy= 0，,FAy=7.557 kN,MB= 0，,3FAy+2FE+FG FF sin60o =0,FB=9.44 kN,FAx=5 kN,FB +FAy FE FG =0,例3-11 FE =10kN, FG =7kN, FF =5kN,(2) 求内力,作截面m-n，,Fy= 0，,FAy=7.557 kN,ME= 0，,0.866F1FAy =0,FB=9.44 kN,FAx=5 kN,F2 sin60o +FAyFE =0,取左半，画受力图,F1 =8.726 kN （压力）,MD= 0，,0.866F31.5FAy 0.866FAy +0.5 FE =0,F3 =12.32 kN （拉力）,F2 =2.821 k