课件2-4函数的单调性.ppt

基础知识 一、单调性定义 1单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数 说明：单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间 单调性是函数在某一区间的“整体”性质因此，定义中的x1、x2具有任意性,任意的x1、x2,任意的x1、x2,2证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手 (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ； ； (2)设函数yf(x)在某区间内可导 如果f (x) 0，则f(x)为增函数；如果f (x) 0，则f(x)为减函数,任取x1、x2D，且x1x2,作差f(x1)f(x2)，并适当变形,依据差式的符号确定其增减性,二、单调性的有关结论 1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x) 函数 2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为 函数 3互为反函数的两个函数有 的单调性 4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为 ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为 5奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 ,仍为增,(减),减(增),相同,增函数,减函数,相同,相反,三、函数单调性的应用有： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小 (2)求某些函数的值域或最值 (3)解证不等式 (4)作函数图象,易错知识 一、不理解函数单调性概念而失误 1函数f(x) 的单调减区间为_ 答案：(，0)和(0，) 2已知f(x)为偶函数，在(0，)为减函数，若f( )0f( )，则方程f(x)0的根的个数是_ 答案：2,二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误 3函数ylog0.7(x23x2)的单调性为_ 答案：在(，1)上为增函数，在(2，)上为减函数,三、函数与方程思想应用失误 4若 则a，b，c的大小关系为_ 答案：cab 解题思路：方法一：,方法二：构造函数f(x) (x0)，y . 令y 0，lnx1，xe. f(x) 在(e，)上是减函数，在(0，e)上是增函数 解法一：a . 543e，f(5)f(4)f(3)bac.,解法二：由y 在(e，)上为减函数， 又e35， ，bc. ac (6a6b) (ln8ln9)0，ab. ac (10a10b) (ln32ln25)0， ac，故bac.,错因分析：误区1：解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数f(x) (x0)； 误区2：能构造出函数，判断出函数单调性，但2、3、5不在一个单调区间，而a 这一巧变学生很难过渡解法二中比较a、b，a、c的技巧，在于系数找最小公倍数 启示：思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累,回归教材 1下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是( ) Ayx1 By Cyx24x5 Dy 解析：A是减函数，B中y2x(x0) 由二次函数的图象可知x(0,2)上是增函数，C中y(x2)21在x(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数 答案：B,2(教材P1601题改编)函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则 ( ) Ak Bk Ck Dk 解析：xR，y(2k1)xb是减函数， 2k10，得k . 答案：D,3(教材P602题改编)反比例函数y .若k0，则函数的递减区间是_若k0，则函数的递增区间是_ 答案：(，0)，(0，) (，0)，(0，),4(2009华东师大附中)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_ 解析：根据题意可得：当m0，yx5在(2，)上是增函数；当m0时，且 2，解得：0m .综上所述，m的取值范围是0m . 答案：0m,5函数f(x)log5(x22x8)的增区间是_；减区间是_ 答案：(4，) (，2),【例1】 已知函数f(x) log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性,解析 (1)x须满足 所以函数f(x)的定义域为(1,0)(0,1) (2)因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有,研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2(0,1)，且设x1x2，则,得f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0,1)内单调递减 由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(1,0)内单调递减,总结评述 由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(1,0)(0,1)上任取x1x2，则f(x1)f(x2)变形后的符号便不能判断综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键,判断下列函数的单调性并证明 (1)f(x) ，x(1，)； (2)f(x)x22x1，x1，)； (3)f(x) ，x1，) 命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形,解析：(1)函数f(x) 在(1，)上为减函数 利用定义证明如下： 任取x1、x2(1，)，且1x1x2， 则有x1x20，,(2)函数f(x)x22x1在1，)上为减函数，证明如下： 任取x1、x21，)，且x2x11， x2x11，x2x10，x2x12，x2x120， f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0， 即有f(x1)f(x2) 故函数f(x)x22x1在1，)上为减函数,(3)函数f(x) 在1，)上为增函数， 证明如下： 任取x1、x21，)且1x1x2， 则有x1x20，,总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解可导函数则可以利用导数解之.,【例2】 求下列函数的单调区间： y|log (x1)|； y1 ； yx33x.,分析 判定函数的单调性方法有图象法、定义法、利用已知函数的单调性法、求导法 研究复合函数的单调性，应首先求函数的定义域，然后在函数的定义域内进行求解 判断或证明可导函数f(x)在 (a，b)内的单调性的步骤： ()求f(x)； ()确认f(x)在(a，b)内的符号； ()作出结论,解答 方法1：设ulog (x1) 由u0得1x0 由u0得x0 当1x0时，u为减函数 y|u|为增函数 (1,0为y|log (x1)|的减区间 当x0时，u为减函数，y|u|为减函数 (0，)为y|log (x1)|的增区间,方法2：作函数y|log (x1)|的图象 由图象可知y|log (x1)|的单调增区间为(0，)，单调减区间为(1,0 由x23x20得x2或x1 设u(x)x23x2，则y1 x(，1时，u(x)为减函数 x2，)时，u(x)为增函数 而u0时，y1 为减函数 y1 的单调增区间为(，1，单调减区间为2，),y3x233(x1)(x1) 令y0得x1或x1， 由y0得1x1， yx33x的增区间为(，1)和(1，)，减区间为(1,1),求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性： (1)yx23|x| ； (2)y( )x2x； (3)ylog2(6x2x2),解析：(1)y 由图象可知，y在(， 及(0， 上分别为减函数，在 ，0及 ，)上分别为增函数,【例3】 已知函数f(x)满足：对任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy1成立，且f(1)0，当x1时f(x)0， (1)判断函数f(x)在1，)上的单调性； (2)在(1)的条件下解不等式f(x22x3)120. 命题意图 利用单调性的定义结合题目所给的等式判断f(x)的单调性；最后利用单调性解不等式,解析 (1)设x1x21，则x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上单调递增,(2)令y1，则f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n)f(n1)2(n1)12n1，上述等式两边分别相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因为f(1)0，所以f(n)n21，而当n21120时，n11，所以不等式f(x22x3)120等价于f(x22x3)f(11)，又因为x22x3(x1)222.所以不等式又等价于x22x311，所以2x4.即不等式f(x22x3)120的解集为x|2x4,总结评述 判断抽象函数单调性的基本方法是定义法，其关键是根据所给条件判断f(x1)f(x2)的符号，多数情况下需要设法构造出x1x2的因式求解与抽象函数有关的不等式问题，主要依据函数的单调性，其中要把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式，然后根据单调性得到自变量应满足的不等式再进行求解,已知函数f(x)的定义域是(0，)，当x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y) (1)求f(1)； (2)证明f(x)在定义域上是增函数； (3)如果f( )1，求满足不等式f(x)f( )2的x的取值范围,分析：(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f g(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解,解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.,总结评述：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的f( )f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据,1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间 2单调