2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节简单几何体的表面积与体积教学案文含解析北师大版.docx

第五节简单几何体的表面积与体积考纲传真了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内a，外接球半径R外a.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cmD. cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A12 B23 C34 D13B设球的半径为R.则.4(教材改编)某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为()A6 B3 C2 D3B由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为左视图，该左视图是底边为2，高为的三角形，主视图的长为三棱柱的高，故h3，所以几何体的体积VSh33.5如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_147设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.空间几何体的表面积【例1】(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是() A48B48C482D482(2)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10(1)A(2)B(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2222451221248，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.规律方法空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积 (1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B12C2 D2(2)(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836B5418C90D81(1)C(2)B(1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中ABADCBCD，BD2，且平面ABD平面CBD.所以ABD与CBD都是等腰直角三角形，而ABC与CAD都是边长是的等边三角形所以表面积是2()222，故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.空间几何体的体积考法1公式法求体积【例2】(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3 C.1 D.3(2)(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_(1)A(2)(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的，如图，三棱锥的高为3，底面ABC中，AB2，OC1，ABOC.故其体积V1232131.故选A.(2)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为()212.考法2割补法求体积【例3】(1)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36(2)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.(1)B(2)A(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.法二：(估值法)由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG，取AD的中点M，则MG，所以SAGD1，所以V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥所以V122.考法3等积法求体积【例4】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.A三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.规律方法求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积(3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积 (1)(2019洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A2B1 C.D.(2)(2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_(1)C(2)(1)几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为2121，故选C.(2)法一：连接A1C1交B1D1于点E(图略)，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D1.法二：连接BD1(图略)，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1111111.球与空间几何体的切、接问题考法1外接球【例5】(1)(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.(2)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54(1)B(2)B(1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B.(2)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.考法2内切球【例6】(1)(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_(2)已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为_(1)(2)(1)设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.(2)正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解 (1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于() A1B2C3D4(2)正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2，则它的外接球的表面积是()A16 B12 C8 D4(1)B(2)A(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC6，BC8，ACB90，则AB10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径，即r2，故能得到的最大球的半径为2，故选B.(2)设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O(图略)，因为OAAC2，所以PO2.又OAOBOCOD2，由此可知R2，于是S球4R216.1(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28 D32C由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是2，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S222242428，故选C.2(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr255(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选B.3(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6C8 D8C连接BC1，AC1，AC.因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.4(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_14长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R2414.(四)立体几何中的高考热点问题命题解读1.立体几何是高考的必考内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算2重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法线面位置关系与体积计算以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等【例1】(本小题满分12分)(2019哈尔滨模拟)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积信息提取看到四边形ABCD为菱形，想到对角线垂直；看到三棱锥的体积，想到利用体积列方程求边长规范解答(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE.2分因为BDBEB，故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED4分(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.6分由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.9分从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.12分易错与防范易错误区：1.在第(1)问中，易忽视条件BDBEB.AC平面AEC等条件，推理不严谨，导致扣分2在第(2)问中，需要计算的量较多，易计算失误，或漏算，导致结果错误防范措施：1.在书写证明过程中，应严格按照判定定理的条件写，防止扣分2在计算过程中，应牢记计算公式，逐步计算，做到不重不漏通性通法空间几何体体积的求法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以点N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得点M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.求点到平面的距离(几何体的高)求点到平面的距离(几何体的高)涉及到空间几何体的体积和线面垂直关系，是近几年高考考查的一个重要方向，重点考查学生的转化思想和运算求解能力【例2】(2019开封模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，M为CD的中点，平面PAD平面ABCD(1)求证：BDPM；(2)若APD90，PA，求点A到平面PBM的距离解(1)证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，底面ABCD是菱形，BDAC，E，M分别是AD，DC的中点，EMAC，EMBDPAPD，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，PEBD，EMPEE，BD平面PEM，PM平面PEM，BDPM.(2)连接AM，BE，PAPD，APD90，DAB60，ADABBD2，PE1，EMAC，PMPB2.在等边三角形DBC中，BM，SPBM，SABM2.设三棱锥A PBM的高为h，则由等体积可得h1，h，点A到平面PBM的距离为.规律方法求点到平面的距离(几何体的高)的两种方法(1)等积法：利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解(2)定义法：其步骤为：一作、二证、三求如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求点A到平面PBC的距离解(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)三棱锥PABD的体积VPAABADAB，由V，可得AB.由题设知BCAB，BCPA，所以BC平面PAB，在平面PAB内作AHPB交PB于点H，则BCAH，故AH平面PBC又AH.所以点A到平面PBC的距离为.线面位置关系中的存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型(2)存在探索型(3)方法类比探索型【例3】(2018秦皇岛模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图所示，连接AC，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点所以对角线AC经过点F.又在PAC中，点E为PC的中点，所以EF为PAC的中位线，所以EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD(2)存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG平面PDC因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CDAD又侧面PAD底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD又EF平面PAD，所以CDEF.取CD中点G，连接FG，EG.因为F为BD中点，所以FGAD又CDAD，所以FGCD，又FGEFF，所以CD平面EFG，又CD平面PDC，所以平面EFG平面PDC规律方法1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本2第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论 (2019长沙模拟)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC；若不存在，请说明理由证明(1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥SABCD是正四棱锥，所以SOAC在正方形ABCD中，ACBD，又SOBDO，所以AC平面SBD因为SD平面SBD，所以ACSD(2)在棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC连接OP.设正方形ABCD的边长为a，则SCSDa.由SD平面PAC得SDPC，易求得PD.故可在SP上取一点N，使得PNPD过点N作PC的平行线与SC交于点E，连接BE，BN，在BDN中，易得BNPO.又因为NEPC，NE平面BNE，BN平面BNE，BNNEN，PO平面PAC，PC平面PAC，POPCP，所以平面BEN平面PAC，所以BE平面PAC因为SNNP21，所以SEEC21.大题增分专训1(2019济南模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PB的中点(1)证明：PD平面CEF；(2)若PE平面ABCD，PEAB2，求三棱锥PDEF的体积解(1)证明：连接BE，BD，BD交CE于点O，连接OF(图略)E为线段AD的中点，ADBC，BCADED，BCED，四边形BCDE为平行四边形， O为BD的中点，又F是BP的中点，OFPD又OF平面CEF，PD平面CEF，PD平面CEF.(2)由(1)知，BECD四边形ABCD为等腰梯形，ABBCAD，ABAEBE，三角形ABE是等边三角形，DAB，过B作BHAD于点H(图略)，则BH.PE平面ABCD，PE平面PAD，平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，BHAD，BH平面ABCD，BH平面PAD，点B到平面PAD的距离为BH.又F为线段PB的中点，点F到平面PAD的距离h等于点B到平面PAD的距离的一半，即h，又SPDEPEDE2，V三棱锥PDE