(考试资料下载)微分几何教案（八）曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率_第1页
(考试资料下载)微分几何教案（八）曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率_第2页
(考试资料下载)微分几何教案（八）曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率_第3页
(考试资料下载)微分几何教案（八）曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率一 主曲率 定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。二 欧拉公式 结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为，沿v-线的主曲率为,曲面上任意方向(d)=du:dv与曲线的夹角为,则沿（d）的法曲率满足 . 这个公式叫做欧拉公式。证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv,与其对应的法曲率 . 沿u-线（）的法曲率为主曲率,沿v-线（）的法曲率为主曲率.因为(d)=du:dv与u-线的夹角是,所以,所以, ,所以三 主曲率的性质 命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。证明 设 (如果,可以交换坐标u和v）由欧拉公式知： ,于是,所以,同样可得，所以,故,这就是说，曲率分别是法曲率 中的最大值和最小值。四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv为曲面S: 在 P点处的主方向，沿主方向的主曲率为，则的计算公式是 即。 注：要求主曲率，只需求出两类基本量，然后由这个二次方程解出主曲率即可。证明 由Rodrigues定理，为主曲率，即即有非零解du:dv 即五 高斯曲率、平均曲率定义 设为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积 叫做曲面在这一点的高斯曲率，记为K, 即; 它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，记为 H，即。由主曲率的计算公式和韦达定理可知高斯曲率、平均曲率的计算公式是：高斯曲率，平均曲率。 注：由定义和前面的计算可知半径为R的球面的高斯曲率为K=,平均曲率为或 。例 求旋转曲面，（）的高斯曲率和平均曲率。， 。解 高斯曲率：，平均曲率： 。 特别,若旋转曲面是xoz平面上的曲线绕z轴旋转而成,则，这时，所以， 高斯曲率：，平均曲率： 。六 极小曲面 定义 一个曲面如果它每一点处的平均曲率都为零，则称该曲面为极小曲面。极小曲面的实际模型是：将在空间弯曲的铅丝侵入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面。由习题3可知，正螺面为极小直纹面；下面的例子说明，悬链面是极小旋转曲面。例 求极小旋转曲面解 在上例中令得，所以 ，所以， 所以 ，积分后得：是悬链
人人文库> 全部分类> 图纸下载 > 毕业设计

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论