高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例学案含解析新人教A版.docx

3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题()2解决应用问题的关键是建立数学模型()类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解(1)由题意知包装盒的底面边长为xcm，高为(30x)cm,0x30，所以包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)828225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.所以当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20cm，高为10cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最小时，圆柱的高h的值为_考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh，h.又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最小又r，h2.即当圆柱的容积V最小时，圆柱的高h为.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(收益销售额投入)考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0，当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0)，所以g(x)(x0)，令g(x)0，则x8，当0x8时，g(x)8时，g(x)0，所以当x8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省反思与感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答跟踪训练3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x).令f(x)0，得512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小.1某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在第100天时()A公司已经亏损B公司的盈利在增加C公司的盈利在逐渐减少D公司有时盈利有时亏损考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案C解析因为f(100)1，所以函数图象在x100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少2已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx336x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A11万件B9万件C7万件D6万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由yx2360，解得x6或x6(舍去)当0x0；当x6时，y0，在x6时y取最大值3用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2m3B3m3C4m3D5m3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h3x(m)，故长方体的体积为V(x)2x29x26x3，从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积VV(1)9126133(m3)4容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h256，其表面积为Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.当0a8时，S8时，S0，故当a8时，S最小，此时h4.5某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知条件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,21(2)由(1)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值极大值故当x12时，f(x)取得极大值因为f(0)9072，f(12)11664.所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导函数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1D8考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案C解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为()A2,6B4,4C3,5D以上都不对考点函数类型的优化问题题点函数类型的其他问题答案B解析设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和为yx3(8x)3512192x24x2(0x8)，则y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为4,4.3某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150B200C250D300考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由题意得，总利润P(x)P(x)令P(x)0，得x300，当0x0，当300x390时，P(x)P(390)31090.故选D.4某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元B840元C818元D816元考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案D解析设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为16(m2)，则箱底另一边的长度为m，所以l16151224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l取得极小值，也就是最小值为816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元5若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为()A.B.C.D2考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)，S(x34V)令S0，得x.可判断得当x时，直棱柱的表面积最小6在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为()A4B8C.D.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案C解析Vy(0x0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值二、填空题9用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_cm.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案8解析设截去的正方形的边长为xcm，铁盒的体积为Vcm3，则铁盒的底面边长为(482x) cm，由题意，得Vx(482x)2(0x0)，yx2.由y0，得x25，当x(0,25)时，y0；当x(25，)时，y0，所以当x25时，y取最大值11统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案80解析当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，故当x80时，y取得最小值三、解答题12为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设知，每年能源消耗费用为C(x)，又C(0)8，所以k40，因此C(x)(0x10)而隔热层建造费用为C1(x)6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5为f(x)的极小值点也为最小值点，对应的最小值为f(5)6570.13已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全