(好资料)曾谨严量子力学习题第五章

第五章：对称性及守恒定律证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式两边乘即得待证式。证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本5.1）（）今代表的本征态，故满足本征方程式（为本征值）（）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积公存在）（）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（）（）代入（）得：因，而设粒子的哈密顿量为。（） 证明。（） 证明：对于定态（证明）（），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：（）分动量算符仅与一个座标有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（）式可简化成：（）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： （）（）将（）（）代入（），得：代入（），证得题给公式：（）（）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题的结论，其结果是零，令则（）但动能平均值由前式设粒子的势场是的次齐次式证明维里定理（irial theorem）式中是势能，是动能，并应用于特例：（）谐振子（）库仑场（）（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标的次齐次式，则不论是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：（）此处的暂设是正或负的整数，它们满足：（定数）是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一题的结论：（）现在试行计算本题条件下的式子及其定态下平均值。这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（）即得：（）本证明的条件只要不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用（）式加以验证。（）谐振子：直接看出，根据（）式知道，即也可以根据前一题的结论，即（）式直接来验证前一结论，由（）式可知（）库仑场直接看出是的次齐次式，按（）式有： 但这个结论也能用（）式验证，为此也利用前一题结论（）有： 代入（）式，亦得到（）场直接看出是的次齐次式，故由（）式得：仍根据（）式来验证：由（）得 ，结果相同。本小题对于为正、负都相适，但对库仑场的奇点除外。证明，对于一维波包：（解）一维波包的态中，势能不存在故（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：（）但（）因（）代入（）式，得到待证的一式。求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：（）又对于自由粒子，有（不随时间变化）令为海氏表象座标算符；代入（）（）但 （）代入（），得：积分得将初始条件时，代入得，因而得到一维座标的海氏表象是：求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。（解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：（）解法同于前题，有关坐标的运动方程式是：（）将等式右方化简，用前一题的化简方法：（）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，与有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：化简右方 = 将对时间求一阶导数,并与式结合,得算符的微分方程式:这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率，它的解是： ，待定算符，将它求导，并利用： 将t=0代入：x(0)=A P（0）=B，最后得解： 在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:1.1.p.47-48 Addison-Wesley8 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：证明：总动量为守恒。证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求： =+ 最后一式的第一个对易式中，因为： ， ，故整个 至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式 =又式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和动量算符永远能够对易，式又能简化成： =再运用对易式（第四章11题） 代入上式得： =满足式，故式得征。9 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。证明与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能： 要考察合力矩是否守恒，可以计算的分量看其是否等于零。 最后一式中，因为 因而可以化简： 用对易关系： 最后一式第一求和式用了等，第二求和式用了：见课本上册P111，最后的结果可用势能梯度内力表示，因内力合矩为零，故有 同理可证 因此是个守恒量。10证明：对经典力学体系，若A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。 证明先证第一总分，设qi 为广义坐标，pi为广义动量，A qi ，pi和B qi ，pi 是任意力学量, i=1,2,3,为坐标或动量编号，s自由度，则经典Poisson括号是：（前半题证明c.f.Goldstein：Clessical Mechanlcs）在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是 或写作：将哈密顿正则方程式组： 代入前一式得 因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是： 假定以上两条件都适合，我们来考察A，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：为了考察前一式，可令：将此式用泊松括号的定义展开得：仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵消，只留下H的一阶导数的项，化简形式如下： 式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数(这不失普遍性，F与H无关)，代入式后有前式中的值可在中，作替代AB，B得到，求法类似。再在式中，令H=，得：I=F（A，B）因而得： 同理令H=得：将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到：A，B，HB，A，H这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形，守恒的条件是 再考察 将此式加减后得到：若，是守恒量，前一式等号右方，左方所以也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若是守恒量，则有共同本征态，在此态中测得的值为确定值A0和B0（初始时刻的值），的值为0。11粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称， 是守恒量。自由粒子无限的均匀柱对称场无限均匀平面场中心力场均匀交变场椭球场解要判断哪些力学量守恒,需要将力学量 宇称量等表示成适宜的形式,再考察等是否是零,但是该力学量,若该交换式是零就说明是个守恒量,下面各种场的分析中, 的分量或其平方, 等逐个立式考虑,自由粒子 a 同理 b 同理 c设为宇称，对任意波涵数 或 此外H不显含时间，故总的说守恒。无限均匀柱对称场柱对称场若用柱面座标表示势能时,形式为V(R),是对称的哈氏算符,凡以z轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。a动量算符 ， ， 直截代入相应的对易式，得： b角动量分量 直截代入相应的交换式，得： c 柱面对称性的表示式故前式成为 此外也不显含时间t，总的说来四力学量守恒。Z是柱面对称轴方向的座标。无限均匀的平面场均匀平面场在一平面内势能不为零,并且处处相等,而与该点的座标无关,记作.a 同理b角动量系沿着z轴,故 , c 不显含t,总起来说守恒.本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.中心力场这种场的势能V(r),哈氏算符 动量算符如下: 由于等不能与中所含V(r)对易,因而各分量等都不和对易,即等式成立，和V（r）对易，也不与对易。即b角动量算符是： 及其分量仅与角度有关，与r无关，因而等和和势能V（r）对易直接看出：（见课本113页）直接代入能证： 同理关于，。c中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形）对任意波函数，有，中心力场的守恒量是。均匀交变场这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例如写成标量场形式这样，在每一个指定时间t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。守恒量。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。（沿z轴单位矢）则守恒量是椭球场这种势场的对称性,在于场的等势面是一群椭球面,因而势场写作:这可以用直角坐标形式的算符来讨论:动量算符是： ， ，另两个轮换对称。由于直角坐标与其共轭动量不对易，即等一式中，所以动量不守恒，同理此式之中与，两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。椭球形势场中粒子的守恒只会有和两种。c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：3。31题p154p。160。12对于平面转子（转动惯量I），设：（1） 试求 解平面转子的定位坐标是转角，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，自变量的情形。首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I，角动量（相当于）和动量T的关系是T=，转子的势能是零，又在球面极座标中导得，故转子哈氏算符： 根据本章5.1的状态的波函数采用海森伯表象时记作，采用薛定谔表象时是,则二者有函数变换关系是： 本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据式有： 将式运算于题给的海森伯表象波函数注意到： 还是非归一化的波函，要将归一化，应乘常数。13证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K以速度v相对于惯性系K（沿x轴正方向）运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足：x=x+vt y=y z=zt=t势能在KK两坐标系中的表示式有下列关系V（x,t）=V(x-vt,t)=V(x,t) 证明若在K中薛定谔方程式是 则在K中：其中： 证明从伽利略变换定义可知，在式中当t=0时，x=x，t=t，因此在时刻t=0一点的波函数与相重合，这个关系和5.1的海森伯，薛定谔表象变换:为普遍起见,我们假设K,K间的变换用一未知的么正算符表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释。 逆变换 从知道： 已知在K描写态的波函数满足： 将和的关系代入；并注意势能V（x,t）是变换的不变量 展开得： 式子中的变换算符没有单一解，但是，假定象题中指定的，要求另一座标系K中，薛定谔方程式有完全相同的形式，即下式成立的话： 那末式中需要受到限制，即必需化简为，为此比较式左右方的系数，容易看出，下面二式满足时化为的形式： （10） （11）将（11）积分，得到： （12）是个与t有关的算符，