方程组的背景及计算.ppt

数学建模与实验,主讲人：宋叔尼教授,2009年3月,第三讲 与方程组有关的问题,数学必须解决实际问题,首届国家最高科学技术奖获得者、中国科学院院士吴文俊指出： 任何数学都要逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活及其他学科中出现的数学问题。 学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。 但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。,什么是数学建模与实验,众所周知，学习物理要做物理实验，学习化学要做化学实验，为适应现代科学技术的发展，学习数学也需要做数学实验。 传统数学的教学体系和内容侧重于培养学生准确、快捷的计算和严密的逻辑推理。 如何运用所学的数学理论将一个实际问题用适合的数学语言描述？ 如何运用计算机求解该问题？ 如何结合实际问题对所求解进行分析和修正？ 这些综合起来就是数学建模与实验。,课程内容,1. 介绍数学建模过程中基本的数学方法(32学时) 2. (测验，同时选拔部分队员培训(案例教学) ) 3. 竞赛题讲解（8月底 ）,许多实际问题可以归结为方程组的求解 例如：冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制 大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。,1. 投入产出分析 1949年，哈佛大学教授 Leontief 把美国经济分解成500个 部门(如农业、制造业、服务业等)，对每个部门，其产出 如何分配给其它经济部门？ 构建了500个未知数，500个方程的方程组，受计算机的 限制只好把问题简化为42个未知数，42个方程的方程组。 该成果获1973年诺贝尔经济学奖。,下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成， 这些部门生产商品和服务。,各部门间的投入产出平衡关系,上表中第一行表示农业总产出为100时，15农产品用于农 业生产，20用于制造，30用于服务，35用于外部需求。,1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。 2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50， 150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？ 3.若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？ 4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出， 称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？,问 题,设有n个部门，第i个部门的总产出为xi，用于(投入到)第j个 部门xij，外部需求为di，则,假设每个部门的产出与投入成正比，即 xij/xj为常数，记为 aij .,1. 给定外部需求，建立求解各部门总产出模型,转换成,记投入系数矩阵 ，产出向量,需求向量 ，则方程组记为,即,这就是线性代数方程组。,投入产出系数表,各部门间的投入产出平衡关系,得到数学模型（线性方程组）,2. 如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50， 150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？,用MATLAB求出即可,3. 若三部门外部需求分别增加1单位，总产出应增加多少？,得,令,求解,4. 若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出， 称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？,要使模型可行，即对任意的外部需求 得 .,由 知，如果 (即每个元素非负).,即满足结论.,如果 ，就有,如果 ，必有 .,得到,这等价于,又因为,数学模型还没有一个统一的准确的定义，我们这样理解:数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。 数学建模就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式、不等式、图表、图 象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 一般来说数学建模过程如下： 实际问题 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 检验与评价 应用,设A，B是重力场中给定的两点，且A点高于B点， B点不正好位于A点下方。,2 最速降线问题,一个在A点静止的质点在重力作 用下沿着怎样的路线C无摩擦地 从A点滑到B点，才能使所花的 时间最短？,该曲线C称为最速降线。,如何求出该曲线？,2.1 问题的提出,考虑连接A, B的曲线,显然，质点运动的速度,这里 表示弧长。,因此,故所需时间为,构造坐标系,设曲线上一点处的切线与 轴方向的夹角为 ；,设质点的质量为 ，重力加速度为 ；,由牛顿运动第二定律,两端同乘以 ，则,两边积分，则有,但已设初速为零，故 ，,从而 .,于是我们的问题便是在条件 ， 之下,寻求使,取最小的函数 。,由上可知， 是 的函数，,同时 是的 函数；,因此 是函数 的函数。,工程上常常称 是 的泛函。,记为,2.2 求解问题的初步设想,先考虑从 到 的以下曲线：,(i) 直线段；,(ii) 圆弧(自己选择一条)；,(iii) 抛物线(自己选择一条)；,分别计算所花的时间（练习）。,这样将 分成 个小段，每段长度 。,将区间 等份，每段长度等于 ，而,对 成立。,此时，曲线 相应地被分成 小段：,2.3 近似计算,注意 和 不能改变， 是固定点。,记 ， 是坐标为 的点。,而其余 及 纵坐标随着曲线 的不同而改变。,如果 比较大，并且每个 都比较小，,则,可近似地看成从 到 的直线段。,质点在 ， 两点的速度分别是 ， ；,在直线段 内的平均速度为,质点经过这条直线段的时间是,总时间 近似地等于,这样即求出了 的值,求合适的 使 最小.,3. 多元函数的极小值问题 （非线性方程组的计算问题）,3.1 函数的极小值问题与方程求根,一元函数极值转化为函数方程求根,多元函数极值问题转化为求非线性方程组解的问题,设 在 取极小值，则,3.2 Newton 迭代法,3.2.1 Newton迭代公式,设(x)在有根区间a,b上二阶连续可微, 给定根的某个近似值x0（初值）,取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似为 (x0)+(x0)(x-x0)=0,若(x0)0, 其解为,因为,得到根的新的近似值x1 ,一般地,在xk附近线性化方程为,(xk)+(xk)(x-xk)=0,设(xk)0, 其解为,迭代格式称为Newton 迭代法.,x,y,o,x0,y=(x),x1,x2,直线 y=(x0)+(x0)(x-x0),就是 y-(x0)=(x0)(x-x0),Newton迭代法也叫切线法.,设(x)在根附近具有二阶连续导数, 则对充分接 近的初值x0,Newton迭代法产生的序列xk收敛于, 且,定理,例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.,3.2.2 Newton迭代法的收敛性,例 用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.,为了简化计算(xk),采用格式,称为简化Newton迭代法.,o,x,y,y=(x),x0,x1,x2,x3,在区间I=-,+上,取M与(x)同号,且M1/2max|(x)|,时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0).,简化Newton迭代法一般只具有线性收敛.,简化Newton迭代法,非线性方程组的求解,向量记法,对于函数方程f(x)=0, 如果(xk) 0, 其近似解为,迭代格式称为 Newton迭代法.,上式改为,Hessen矩阵,例 用Newton迭代法求解非线性方程组,在 初值(1, 1)的解。,例 用Newton迭代法求解非线性方程组,在初值(2, 2)附近的解。,理论问题 收敛性，收敛区域，修改方法 稳定性,矩阵的范数,矩阵条件数,假设载荷很小，则发生的形变也很小，用u=u(x)表示在载荷f(x)作用下弦的平衡位置，则,非线性,4.弦振动问题（微分方程问题）,区间a, b上连续函数的全体，记为Ca,b; 区间a, b上二阶连续可微函数的全体，记为C2a,b; 按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算, 构成实数域上的线性空间.,结合边界条件,问题1 方程组的求解问题,微分方程,的解是 中的函数（或元素）。,方程组的解,是N1 维空间中的向量。,时，该向量的极限是否为原方程的解？,问题 2,数学建模与实验参考书 1. 姜启源.数学模型 (第二版), 高等教育出版社. 2. 姜启源等.数学建模 (第三版) ， 高等教育出版社. 3. 萧树铁等.数学实验