随机变量的数字特征第1节概率论.ppt

2019/7/20,1,2019/7/20,2,2019/7/20,3,2019/7/20,4,随机变量某一方面的概率特性都可用 数字来描写,（1）随机变量的平均取值数学期望；,（2）随机变量的取值平均偏离平均值的情况 方差；,（3）描述随机变量之间的相关关系 协方差和相关系数；,2019/7/20,5,一、数学期望的定义 二、数学期望的性质,基本内容：,第一节 数 学 期 望,第三章 随机变量的数字特征,2019/7/20,6,抽象出,3.1 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,例1 甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,则平均成绩,平均值 = 以频率为权的加权平均,以频率为权 的加权平均,频率和 概率的关系,改以概率为权 的加权平均,数学期望,试验次数很大时, 频率会接近于概率pk,2019/7/20,7,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和,红球数的数学期望。,例 1 从装有6个红球与4个白球的袋中任意取出3个球，求其中,解 设 X 为红球数,则 X 的分布列为,它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均,超几何分布,2019/7/20,8,2019/7/20,9,0-1分布,几种常见分布的数学期望,二项分布,2019/7/20,10,Poisson 分布,2019/7/20,11,定义2 设 X 是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x),若 收敛,则称 为 X 的数学期望，,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分,简称期望或均值.,2019/7/20,12,例设随机变量 X 密度为,试证 E(X)不存在.,解,柯西分布,= + , E(X)不存在.,不绝对收敛,2019/7/20,13,均匀分布,指数分布,2019/7/20,14,如果 收敛,三、随机变量函数的数学期望,定理 设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数Y=g(X),(1) 设 X 为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi)=pi , i=1,2,(2) 设X 是连续型随机变量,其密度函数为 f (x),如果 收敛,则,则,2019/7/20,15,= 0. 1 + 0. 2 + 0. 4 + 0. 3,例 设随机变量X 的分布列为,求 E(2X - 1), E(X 2).,解 E(2X -1),= 1. 4 ;,解,2019/7/20,16,四、数学期望的性质,证:,证:,推广,2019/7/20,17,证：仅就连续随机变量情形,2019/7/20,18,五、期望及其性质的应用,2019/7/20,19,例(P74) 设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N) ,求EX。,五、期望及其性质的应用,解,设 Xi 表示第 i 次取出的 样品数中的次品数，则 Xi服从如下的,“0-1”分布,且 Xi 的分布列为,这种将 X 分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得 X 的期望的方法是较常见的基本方法.,取出的n件样品中的次品数,2019/7/20,20,设每次命中率 为 p,例 对某一目标连续射击,直到命中n 次为止.,五、期望及其性质的应用,求消耗子弹数 X 的数学期望.,解,设 Xi 表示从第 i 1 次命中后至第 i 次命中时所消耗的子弹数，,则 X= X1+X2+Xn ,且 Xi 的分布列为 P(Xi = k)=(1-p)k-1p ,2019/7/20,21,而商场每销 售一单位商品可获利500元,若供大于求, 则削价处理, 每单位商品亏损100元;,例 某种商品每周的需求量 XU10,30,若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位商品可获利300元.,要使商场获得最大的收益,问应进货多少?,解 设应进货量为 a ( 10至 30 间的某数),利润为Y,则,连续,故当 a =23. 33 时, EY 最大,供不应求,供大于求,