2011届高中数学第一轮总复习第65讲空间角及其计算课件(理科)新人教版.ppt

第九单元 直线、平面、简单几何体和空间向量,第65讲,空间角及其计算,1.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念. 2.掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧. 3.培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯. 4.培养学生的转化化归思想和数形结合思想,提高学生的空间想象能力.,1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点,且B1E1=D1F1= ,则BE1与DF1所成角的余弦值为( ),B,A. B. C. D.,在A1B1上取一点G,并使A1G= ,连接AG,再在AB上取一点H，连接GH. 则AGH为异面直线BE1与DF1所成的角. 不妨设A1B1=4， 则AG=GH= = . 所以在AGH中， cosAGH= = = .,2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 .,30,如图，过点C作平面的垂线，垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE. 由三垂线定理得CED为 -AB-的平面角. 由题意可知CED=30.,3.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面所成角的大小为 .,45,如图，由S作SO平面ABCD, 则O是正方形ABCD的中心， AO是SA在平面ABCD上的射影， 所以SAO为侧棱与底面所成的角. 又在ABO中，易得AO= a, 所以SAO=45.,4.如图，已知AB为平面的一条斜线,B为斜足，AO，O为垂足,BC为内的一条直线,ABC=60,OBC=45,则斜线AB和平面所成的角为 .,45,由斜线和平面所成的角的定义可知,ABO为斜线AB和平面所成的角. 又因为cosABO= = = , 所以ABO=45.,一、异面直线所成的角 1.异面直线所成的角:在空间中任取一点O,过O点分别作两异面直线的 线所成的 叫做两条异面直线所成的角. 2.异面直线所成的角的范围是 ,当= 时,这两条异面直线垂直.,平行,锐角或直角,(0, ,二、直线与平面所成的角 1.直线和平面所成的角： (1)如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为 . (2)如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为 . (3)如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角. 2.直线和平面所成的角的范围是 .,0,射影,锐,0, ,三、二面角的平面角 1.二面角的平面角：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 两条射线.这两条射线所成的角叫做 .平面角是 角的二面角叫做直二面角. 2.二面角的范围是 . 3.作二面角的平面角的常用方法有 . . 四、求空间角的基本方法 1.构造法（传统法）；2.空间向量法.,半平面,任意,垂直于棱的,二面角的平面角,直,0,定义,法、线面垂直法、垂面法,例1,题型一 异面直线所成的角的求法,如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB= ，BD=BC=1，AA1=2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 成角的正切值； (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90?,依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角.,（方法一） （1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1BC1， 则EBC1为异面直线 AD1与BE所成的角.,又底面ABCD侧面DCC1D1 BD=BC E为CD的中点 BE侧面DCC1D1 BEEC1. 在RtBEC1中，BE= = ， EC1= = ， 所以tanEBC1= =3.,BECD,(2)当DF= 时,EF与BC1所成的角为90. 由（1）知，BE侧面DCC1D1 BEEF. 又DE=EC= ，CC1=AA1=2. 当DF= 时， 因为 = = ， = = ，,所以DEFCC1E， 所以DEF+CEC1=90， 所以FEC1=90，即FEEC1. 又EBBC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFBC1, 即EF与BC1所成的角等于90.,（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BDBC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).,(1)因为 =(0,1,2)， =( ， ,0), 所以cos ， = = = ，,所以sin ， = , 所以tan ， =3， 即AD1与BE所成的角的正切值为3. (2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q). 又 =(0,1,2)， 由 = 0- 1+q2=0，得q= ， 即DF= 时，EFBC1.,异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用.,例2,题型二 直线与平面所成角的求法,如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：BE平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小； (2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.,(1)在矩形ABCD中，连接BE， 因为AB=2AD，E为CD的中点， 所以AD=DE，EAB=45， 从而EBA=45，故AEEB. 过D作DOAE于O. 因为平面ADE平面 ABCE， 所以DO平面ABCE，所以DOBE. 又AEDO=O，所以BE平面ADE. 可知AE为AB在平面ADE上的射影， 从而BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45.,(2)由(1)可知，DO平面ABCE，BEAE，过O作OFBE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).,设平面CDE的法向量n=(x,y,z). 又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x. 取x=1，得n=(1,1,-1). 又 =(- ,2 ,- )， cosn, = = . 则BD与平面CDE所成角的正弦值为 .,则,，得,本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角.,例3,题型三 二面角的求法,如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23,AA1=3,ADDC, ACBD,垂足为E. (1)求证：BDA1C； (2)求二面角A1-BD-A 的大小.,（方法一）(1)证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为AA1平面ABCD，则AA1BD. 因为BDAC，所以BD平面AA1C， 故BDA1C.,(2)连接A1E,与(1)同理可证:BDA1E,BDAE, 所以A1EA为二面角A1-BD-A的平面角. 因为ADDC， 所以ADC=90. 又AD=2，DC=2 ,AA1= ,且ACBD, 可得AC=4. 又AD2=AEAC，所以AE=1. 又AA1= ，所以A1EA= = ， 所以A1EA=60， 即二面角A1-BD-A的大小为60.,(方法二)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADDC，故建立空间直角坐标系如图. 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2 ,0),A1(2,0, ). 设B(x,y,0).因为AB=2，ACBD， 又 =(-2,2 ,0), =(x,y,0), =(x-2,y,0) (x-2)2+y2=4 x=3 -2x+2 y=0 y=3 x=0 y=0(舍), 即B(3, ,0).,得,解得,或,(1)因为 =(3, ,0)， =(-2,2 ,- ), 所以 =3(-2)+ 2 +0(-3)=0, 所以 ，所以DBA1C. (2)平面ABD的法向量为 =(0,0, ), 又 =(2,0, )， =( ,1,0)， 设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)， n =2x+ z=0 n = x+y=0，,则,取x= ，得n=( ,-3,-2), cosn， = =- , 故n， =120， 从而二面角A1-BD-A的大小为60.,如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点. (1)试确定点F的位置， 使得D1E平面AB1F; (2)当D1E平面AB1F时， 求二面角C1-EF-C的正切值的大小.,欲使D1E平面AB1F，只需D1E垂直于平面AB1F内的两条相交直线AF和AB1.而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明；(2)的解决关键是由二面角的定义，只需作出棱EF的垂面，计算平面角的大小即可.,(1)如图，连接A1B、DE. 因为A1BAB1,A1D1AB1, 所以AB1平面A1BED1, 所以AB1ED1. 又因为E为线段BC的中点，D1DAF,所以F为线段DC的中点时，有DEAF,则AF平面D1DE, 所以D1EAF，故D1E平面AB1F.,(2)连接C1E、C1F、AC、EF,AC与EF交于点H,连接C1H. 由（1）知，ACEF. 又C1CEF,所以EF平面C1HC, 所以C1HC就是二面角C1-EF-C的平面角. 易知在RtC1HC中， C1C=1,CH= , 所以tanC1HC= =2 .,1.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解.,2.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作（找）出所求的角是计算的基础.异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通过解三角形求出角的大小.,(2009福建卷)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点. (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值; (2)在线段AN上是否存在点 S，使得ES平面AMN？ 若存在，求线段AS的长； 若不存在，请说明理由.,(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz. 依题意,易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0), B(1,1,0),N(1,1,1),E(12,1,0). 所以 =(- ,0,-1), =(-1,0,1). 因为cos , = = =- , 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 .,(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN. 因为 =(0,1,1),故可设 = =(0,). 又 =( ,-1,0),所以 = + =( ,-1,). =0 - +=0 =0 (-1)+=0. 故= ,此时 =(0, , ),| |= . 经检验，当AS= 时，ES平面AMN. 故线段AN上存在点S,使得ES平面AMN,此时AS= .,由ES平面AMN,得,即,(2008山东卷)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60,E、F分别是BC、PC的中点. （1）证明：AEPD； （2）若H为PD上的动点， EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E-AF-C的余弦值.,（1）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点，所以AEBC， 又BCAD，因此AEAD. 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PAAE. 而PA平面PAD,AD平面PAD, 且PAAD=A， 所以AE平面PAD. 又PD平面PAD，所以AEPD.,(2)设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.由(1)知，AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角. 在RtEAH中，AE= ， 所以当AH最短时，EHA最大， 即当AHPD时，EHA最大. 此时tanEHA= = = , 因此AH= .又AD=2，所以ADH=45， 所以PA=2.,(方法一)因为PA平面ABCD,PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD.过E作EOAC于O，则EO平面PAC.过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30= ， AO=AEcos30= . 在RtASO中，SO=AOsin45= . 因为SE= = = , 所以在RtESO中,cosESO= = = . 即所求二面角的余弦值为 .,（方法二）由（1）知AE、AD、AP两两垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点， 所以有A(0，0，0)