2006年数学四分析、详解和评注

2006年数学四试题分析、详解和评注一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 . 【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.（2）设函数在的某邻域内可导,且，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 . 【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性. （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 . （4） 已知为2维列向量，矩阵，.若行列式，则.【分析】利用矩阵乘积的行列式运算即可.【详解】，所以 ，而，故 . 【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则.【分析】 将矩阵方程改写为的形式，其中是待求矩阵，再通过左乘或右乘可逆阵，解出待求矩阵即可.【详解】 由题设，有 于是有 .【评注】 本题关键是将被求矩阵转化为矩阵方程中的一个乘积因子.（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则.二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). 【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：因为，所以单调增加，即，又，则，即.（8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. 【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型. （9）设函数与在上连续，且，且对任何，（A）（B）（C）（D） 【分析】 利用定积分的比较定理即可 .【详解】因为与在上连续，则对任何，与在上连续，且，所以.故选（D）.【评注】 本题属基本题型.由于比较大小未知，所以不能选（A）（B）.（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因为），若，则.故选（）. 【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）.（）.（）.（）.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，则有.故应选（）.【评注】（）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).【评注】 对于服从正态分布的随机变量，在考虑它的概率时，一般先将标准化，即.三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求() ；() . 【分析】第()问求极限时注意将作为求解，此问中含型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含型未定式极限. 【详解】() . () （通分）【评注】本题为基本题型，注意利用洛必达法则求极限时，要充分利用等价无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化.对型未定式极限，一般利用通分将其转化为型未定式，然后再计算.（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 . 【评注】计算二重积分时，首先画出积分域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第10讲第2节【例8】，数学复习指南（经济类）P.181【例7.2】，考研数学过关基本题型（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.（17）（本题满分10分） 证明：当时，. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令，则 ，且.又 ，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数，然后求导验证的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值. 【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故. 【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型.（19）（本题满分10分）试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于的多项式，要联想到的泰勒级数展开式，比较的同次项系数，可得的值.【详解】将的泰勒级数展开式代入题设等式得 整理得 比较两边同次幂系数得 ，解得 .【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且. 【评注】本题属常规题型.91年，00年和04年均考过. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】 ()因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.()因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得. （）由()知 ，所以 . ，则.【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题，抽象矩阵特征值和特征向量问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式.矩阵的对角化用常规方法求解.（22）（本题满分13分）设二维随机变量（）的概率分布为 1 0 1 1 0 0.2 0 0.1 0.2 1 0 0.1 其中为常数，且的数学期望，记，求() 的值；() 的概率分布；() .【分析】 利用二维离散型随机变量概率分布的性质和定义计算.【详解】 （I）由概率分布的性质知 ，即. 由（）可写出的边缘概率分布为 1 0 1 故 ，即. 又因 ，即. 将，联立解方程组得 .（II）的可能取值为，则 ， ， ， ， . 故的概率分布为 2 1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1() .（23）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；