有关三角形的证明.ppt

,课题1 有关三角形的证明,数学 九年级/上 单元一,目录CONTENTS,全等三角形 等腰三角形 等边三角形 反证法 含30直角三角形 创新思考：辅助线 课题总结,3 6 13 14 17 20 21,复习：全等三角形,如图，a，b，c分别表示ABC的三边长， 则下面与ABC一定全等的三角形是（ B ）,提示：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）,（2011江西）如图下列条件中，不能证明ABDACD的是（D） ABDDC，ABAC BADBADC，BDDC CBC，BADCAD DBC，BDDC,下列判断中错误的是（B） A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D有一边对应相等的两个等边三角形全等,提示：三条边对应相等的两个三角形全等； 两边及夹角对应相等的两个三角形全等； 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。,复习：全等三角形的性质,若ABCDEF，则有： AB= DE ,BC= EF ,AC= DF ; A= D ,B= E ,C= F.,性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.,典例分析,两边及夹角对应相等的两个三角形全等,两角及夹边对应相等的两个三角形全等,两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等、对应角相等,三条边对应相等的两个三角形全等,3,4,5,三角形全等的判定,等腰三角形的性质定理的推论（1）,已知：如图，在ABC中，AB=AC. 求证：B=C,A,B,C,归纳：等腰三角形的两个底角相等。,等腰三角形的性质定理的推论（2）,在ABC中，AD还具有怎样的性质？,BD=DC ADB=ADC ADB+ADC=180 ADB=ADC=90 BAD=CAD,ABDACD,归纳： “三线合一” 等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。,随堂练习,如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD. (1) 求证:ABD是等腰三角形； (2) 求ABD的度数。,证明（1） ACBD，AC=BC=CD ACB=ACD=90 ACBACD AB=AD ABD是等腰三角形。 解（2） ACBD，AC=BC=CD ACB、ACD都是等腰直角三角形。 B= D=45 BAD=90,（2011铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（C） A等腰三角形两底角相等 B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C等腰三角形是中心对称图形 D等腰三角形是轴对称图形 提示：依据等腰三角形的有关性质,如图所示，是用两个形状大小完全相同的一个角为30的直角三角形拼成的，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数为（C） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,等腰三角形其他性质的证明,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线. 求证:BD=CE.,证明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角). 又1= ABC,2= ACB(已知), 1=2(等式性质). 在BDC与CEB中 DCB= EBC（已知）, BC=CB（公共边）, 1=2（已证）, BDCCEB（ASA）. BD=CE(全等三角形的对应边相等),1,2,探究：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？ 通过几何语言尝试证明你的结论。,等腰三角形,等腰三角形的性质定理的推论（3）,已知：如图，在ABC中，B=C； 求证：AB=AC. 提示：构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边,归纳：有两个角相等的三角形是等腰三角形。,小结：等腰三角形性质及其推论,等边对等角,等角对等边,等边三角形,归纳： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 定理：三边都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都等于60的三角形是等边三角形。,已知：ABC中，AB=BC=AC. 求证：A=B=C=60,A,B,C,反证法,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这个角也不相等.,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?,即在ABC中,如果ABAC,那么AC.,假设A=C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是ABAC相矛盾。因此假设不成立,原命题成立，即AC.,反证法,在证明上题时，先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 这种证明方法称为反证法 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,随堂练习,如何证明这个结论: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证明: 证明: 假设这五个数全部小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此假设不成立, 原命题成立, 即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.,含30角的直角三角形的性质定理,操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.,由此你想到， 在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 证明你的结论。,结论: 在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.,含30角的直角三角形性质定理的证明,定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,已知:如图,在ABC中,ACB=90,A=30 求证:BC= AB.,A,C,B,D,提示：延长BC至D,使CD=BC,连接AD 线段的倍、分线段相等,解题步骤 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD ACB=90, (已知), ACD=90(平角意义) 在ABC与ADC中 BC=DC（作图）ACB=ACD（已证）AC=AC（公共边） ABCADC（SAS） AD=AB ACB=90,A=30(已知), B=600(直角三角形两锐角互余). ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形) BC= BD= AB(等式性质).,随堂练习,创新思考,阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图1所示， E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE. 求证：ABCD.分析：证 明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判 定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中， 且它们分别