概率的加法公式与事件的独立性.ppt

第二节 概率的加法公式与事件的独立性,一 概率的加法公式 1 互不相容情形,定义 事件“A与B至少有一个发生”称为事件A与B的和，记作A+B或 。 事件“ 至少有一个发生”称为事件 的和，记作 或 或 事件 “至少有一个发生”称为事件 的和，记作 或,例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”，C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则,再如，一射手向某一目标连续射击，决心射中为止，设A1=“第一次射中”， ，Ak=“前 次都没射中，而第k 次射中”， ；B=“终于命中”，则 事件的“和”概念相当于集合的“并集”概念。,定义 若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。 若事件 两两互不相容，则 称事件 互不相容。 若事件 两两互不相容，则称事件 互不相容。,例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”，则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正面朝上”，则A，B，C互不相容。 事件的互不相容性相当于集合的互不相交性。,概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 直观上，概率的可加性可由概率的统计定义推得。,概率的有限可加性： 设事件 互不相容，则,概率的完全可加性： 设 为一列两两互不相 容的事件，则,2 对立事件技巧 定义 事件“A不发生”称为事件A的对立事件，记作 例如，掷一颗均匀的骰子，设A=“出现的点数小于3”，则 =“出现的点数 3” 又如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至少 一个正面朝上”，则 =“两个都是反面朝上” 对立事件概念相当于集合论中的余集概念。,对立事件技巧公式：,例1 设有一批产品100件，其中有5件次品，现从中任取50件。问：取到的至少有一件次品的概率是多少？,三 一般情形 定义 事件“A与B同时发生”称为事件 A与B的积，记作 或AB或 。 事件“ 同时发生”称为事件 的积，记作 。 事件“ 同时发生”称 为事件 的积，记作,例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至多一个正面朝上”，B=“至少一个正面朝上”，C=“正好一个正面朝上”，则C=AB 又如，向一目标连续射击30次，设Ai=“第i次击中目标”，A=“每次都击中目标”，则 事件的积概念相当于集合论中的交集概念。,概率的加法公式：,例2 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取4次，求取到的四球里没有红球或没有黄球的概率。,例3 某地有甲、乙两种报纸，据统计，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，其中有8%兼读甲、乙报。求该地成年人至少读一种报纸的概率。,二 事件的独立性 1 条件概率 定义 对事件A,B,称在事件B发生的前提下事件A发生的概率为条件概率，记作 P(A|B).,古典概型中的条件概率计算公式：,例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球，另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的概率。,在古典概型中，显然还有 由此，我们不难总结出一般情形下的条件概率计算公式：,例5 设某种灯泡能使用1000小时以上的概率为0.6，能使用1100小时以上的概率为0.5。求已使用了1000小时以上的这种灯泡能使用到1100小时以上的概率。,2 乘法公式 由条件概率计算公式立即得 乘法公式： P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(B|A)P(A) 例6 某厂生产的产品中有4%废品，而在100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。,3 独立性 在例4中，已算出P(A|B)=4/11。不难知P(A)=6/16。 这表明：一般说来，条件概率P(A|B)与概率P(A)并不一定相等。即：事件B的发生往往要影响事件A发生的概率。 但也存在着P(A|B)=P(A)的大量实际例子。,例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问：P(A|B)=P(A)成立吗？,当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。,由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立（简称独立）。,两事件独立的直观意义：两事件的发生互不影响。 通常所谓互不干扰、彼此无关等都是指独立性。实际中正是根据这些来判断独立性的，并不需要复杂的计算。,例8 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率及恰有一人击中敌机的概率。,独立性概念可由两个事件的情形推广到多个事件的情形。 定义 设 为n个事件。若 对任意的 ，其中任意k个事件的 乘积的概率均等于这k个事件的概率的乘 积 ，即对任意的 均有 则称事件 相互独立（简称独立）。,显然，若事件 相互独立，则 n个事件独立的直观意义：这n个事件的发生与否