《数学物理方程-下》PPT课件.ppt

数学物理方法,理学院 冯国峰,常用的数学物理方法求解方法,1、分离变量法 2、行波法（平均核法） 3、积分变换法 4、格林函数法,1、分离变量法,分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。,1、分离变量法,问题1：研究一根长为l，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题 式中， 均为已知函数。,1、分离变量法,这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。,1、分离变量法,从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。,第2-1节 有界弦的自由振动,1、分离变量法,1、分离变量法,若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。,1、分离变量法,（1）当 时，方程没有非平凡解。 （2）当 时，方程也没有非平凡解。 （3）当 时，方程有如下形式的通解：,1、分离变量法,称为固有值问题 的一系列固有值，相应的非零解 为对应的固有函数。,1、分离变量法,将固有值 代入方程 中，有 可得其通解为,1、分离变量法,这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解 式中， 是任意常数。,1、分离变量法,由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数 仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。,1、分离变量法,为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令 ，由初始条件得,1、分离变量法,傅里叶级数（补充）： （1）设 是周期为 的周期函数，则 其中,1、分离变量法,傅里叶级数（补充）： （2）设 是周期为 的周期函数，则 其中,1、分离变量法,（3）当 为奇函数时， 为奇函数， 为偶函数。 正弦级数为,1、分离变量法,（4）当 为偶函数时， 为偶函数， 为奇函数。 余弦级数为,1、分离变量法,和 分别是函数 、 在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即,1、分离变量法,取级数的一般项，并作如下变形： 式中， 最大振幅 相位 频率,1、分离变量法,表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。,1、分离变量法,这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的节点。这说明 的振动是在 上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为驻波。另外，驻波还在另外的一些点 处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点。,1、分离变量法,是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波法。,1、分离变量法,问题2：一个半径为 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。 由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用 来表示圆板内点 的温度，则区域的边界是圆周 ，所以边界条件可以表示为 式中 为圆周边界上的已知温度，且 。,1、分离变量法,令 ，则,1、分离变量法,1、分离变量法,这样所述问题可以表示为下列定解问题： 周期性边界条件： 有界性条件：,1、分离变量法,设泛定方程的解为,1、分离变量法,（1）当 时，方程的通解为 式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。 （2）当 时， 的解为 原定解问题的解为,1、分离变量法,（3）当 时，方程的通解为 固有值为 相应的固有函数为 和 ，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程 它的通解为,1、分离变量法,补充：欧拉方程的解法： 令 ，有 ，则 代入欧拉方程中，得到 有通解,1、分离变量法,原定解问题的一些列特解 式中,2、行波法,行波法只能用于求解无界区域上的波动方程定解问题，虽然有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数学物理方程的基本解法之一。,2、行波法,无界弦振动的柯西问题 ： 式中 均为已知函数。,2、行波法,引入新变量,2、行波法,原柯西问题的通解为 初始条件代入其中，有 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ）为：,2、行波法,函数 称为左传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向左传播的行波。 函数 称为右传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向右传播的行波。 积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方向传播的波，不过是由初速度 引起的。,2、行波法,达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波的形式分别向x轴的正负两个方向传播出去，其传播速度恰恰是弦振动方程中出现的常数a。基于这种原因，达朗贝尔解法又称为行波法。,2、行波法,称为点 的依赖区间。它是过点 分别作斜率为 的直线与x轴相交所截得的区间。 初始时刻 时，取x轴的一个区间 ， 作直线 与直线 ，它们和区间 一起构成一个三角形区域，称为决定区域。 在平面上由不等式 所确定的区域称为区间 的影响区域。,2、行波法,在 平面上，斜率为 的两族直线 称为一维波动方程的特征线。波动实际上是沿着特征线传播的，因此行波法又称为特征线法。 无累积效应 ： 有累积效应：,2、行波法,三维波动方程初值问题： 其中 和 均为已知函数。,2、行波法,平均值法：不考虑函数 本身，而是研究 在以点 为球心，以r为半径的球面上的平均值 ，当暂时选定 后， 就是关于r，t的函数。当我们很方便地求出 后，令 则 ，问题就得到了解决。,2、行波法,把达朗贝尔公式改写为： （1）积分 是函数 在区间 上的算术平均值，记作 。 （2）由叠加原理知， 都是一维波动方程 的解。,2、行波法,三维波动方程的解（泊松公式 ）为： 其中曲面积分采用球坐标形式表示：,2、行波法,二维波动方程初值问题 式中 与 为已知函数。 降维法：由高维问题的解引出低维问题解的方法。,2、行波法,二维波动方程初值问题的解（泊松公式 ）：,3、积分变换法,积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定解问题，但对于有界区域的定解问题也能应用。,3、积分变换法,变换： 原问题 变换 较易解决的问题 直接求解较难 求解 原问题的解 逆变换 在变换域里的解 例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变换。,3-4 积分变换法,积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。 积分域 ；积分变换的核 ； 象原函数 ； 称为 的象函数。,3-4 积分变换法,当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。 傅里叶（Fourier）变换： 变换核为 ；积分域 拉普拉斯（Laplace）变换： 变换核为 ；积分域 Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。,3-4 积分变换法,一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。,3-4 积分变换法,用积分变换法求解定解问题的步骤大致为： （1）根据自变量的变化范围及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程。 （2）对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。 （3）求解所得的常微分方程，求出的解即是原定解问题的解的像函数。 （4）对求得的像函数取逆变换，得到原定解问题的解。,傅立叶积分公式,傅里叶积分公式,傅立叶积分公式,傅里叶积分定理若 在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间 上绝对可积（即积分 收敛），则有,傅立叶积分公式,傅里叶积分公式的三角形式：,傅立叶积分公式,傅里叶正弦积分公式 傅里叶余弦积分公式,傅立叶变换,傅里叶积分公式： 傅里叶变换： 傅立叶逆变换：,傅立叶变换,傅里叶正弦积分公式： 傅里叶正弦变换式（正弦变换）： 傅里叶正弦逆变换式：,傅立叶变换,傅里叶余弦积分公式： 傅里叶余弦变换式（余弦变换）： 傅里叶余弦逆变换式 ：,傅立叶变换的性质,1、线性性质 2、对称性质 3、相似性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理,傅立叶变换的性质,1、线性性质：,傅立叶变换的性质,2、对称性质：,傅立叶变换的性质,3、相似性质： 翻转公式：,傅立叶变换的性质,4、位移性质： 时移性： 频移性：,傅立叶变换的性质,5、微分性质：如果 在连续或只有有限个可去间断点，且当 时， ，则,傅立叶变换的性质,6、积分性质：设 （1）若 则 （2）,傅立叶变换的性质,7、卷积与卷积定理 卷积： 卷积的性质： （1）交换律： （2）结合律： （3）对加法的分配律：,傅立叶变换的性质,7、卷积与卷积定理 卷积定理 频谱卷积定理,利用傅里叶变换求解数学物理方程,例试用傅里叶变换求解下列定解问题 解,利用傅里叶变换求解数学物理方程,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,傅里叶变换的条件： 1、Dirichlet条件 2、在 内绝对可积,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换 复反演积分公式：若t为 的连续点 若t为 的间断点,拉普拉斯变换,例 求单位阶跃函数 、符号函数 及 的Laplace变换。 解,拉普拉斯变换的存在定理,定义对实变量的复值函数 ，如果存在两个常数 及 ，使得对于一切 ，都成立 即 的增长速度不超过某一指数函数，则称 为指数级函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数。,拉普拉斯变换的存在定理,例 ，此处 ，此处 ，此处 ，此处 。 它们都是指数级函数。但是对于函数 ，不论选M及c多么大，总有 ，所以它不是指数级函数。,拉普拉斯变换的存在定理,Laplace变换存在定理若函数 满足下列条件： （1）当 时， ； （2） 在 的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。 （3） 是指数级函数。 则 的Laplace变换在半平面 上一定存在，并且为解析函数。,拉普拉斯变换,例求幂函数 （m为整数）的Laplace变换。 解,周期函数的Laplace变换,设 在 内是以T为周期的函数，即 且 在一个周期内分段连续，则有,Laplace变换的基本性质,1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理,Laplace变换的基本性质,1、线性性质,Laplace变换的基本性质,2、相似性质,Laplace变换的基本性质,3、延迟性质,Laplace变换的基本性质,4、位移性质,Laplace变换的基本性质,5、微分性质,Laplace变换的基本性质,6、积分性质 若积分 存在，,Laplace变换的基本性质,7、卷积与卷积定理,Laplace变换的基本性质,7、卷积与卷积定理 卷积定理,象原函数的求法,（推广的）若当引理设以 为中心，R为半径的左半圆弧 复变量s的一个函数 满足： （1）它在左半平面 上除有限个奇点外是解析的。 （2）对于 的s，当 时 趋于零。 则对充分大的 ，函数 沿半圆周的积分存在，且对任意 ，有。,象原函数的求法