《概率论第7讲》PPT课件.ppt

2019/7/23,1,概率论第7讲,第六章 二维随机变量,本文件可从网址 上下载,2019/7/23,2,在实际问题中,试验结果往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 要研究这些随机变量及其取值规律多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容. 为简明起见, 只介绍二维情形. 有关内容可以类推到多于二维的情形.,2019/7/23,3,第一节 二维随机变量及其分布函数,2019/7/23,4,在研究某族人的身长与体重之间的联系时, 要从这族人中抽出若干个来, 测量他们的身高与体重. 每抽一个人出来, 就有一个由身长, 体重组成的有序数组(x,h). 这个有序数组是根据试验结果(抽到的人)而确定的.,2019/7/23,5,一般地说, 如果由两个变量所组成的有序数组即二维变量(x,h), 它的取值是随着试验结果而确定的, 那末称这个二维变量(x,h)为二维随机变量. 相应地, 称(x,h)的取值规律为二维分布.,2019/7/23,6,也就是说, 对于平面上任意一个集D, (x,h)D代表了一个随机事件. D确定后, P(x,h)D随之唯一确定. 由这个对应关系定出, 以平面上的集D为自变量, 函数值在区间0,1上的函数, 称为二维随机变量(x,h)的分布. 它表明了二维随机变量(x,h)取数组的规律. 简称二维随机变量的分布为二维分布.,2019/7/23,7,与一维时相仿, 定义二维分布的分布函数为 F(x,y)=Pxx,hy, (1) 其中x,y是任意实数.,x,y,y,x,D,O,图6-1,2019/7/23,8,第二节 二维离散型随机变量,2019/7/23,9,设(x,h)为一个二维随机变量. 如果它可能取的值的全体是有限个或可数多个数组, 则称(x,h)为二维离散型随机变量, 称它的分布为二维离散型分布.,2019/7/23,10,设二维离散型随机变量(x,h)可能取的值为 (a1,b1),.,(a1,bj),.,(ai,b1),.,(ai,bj),., 且事件x=ai,h=bj的概率为pij(i,j=1,2,.), 即 Px=ai,h=bj=pij,2019/7/23,11,那末(x,h)的分布密度为表格,(2),2019/7/23,12,例1 一口袋中有三个球, 它们依次标有数字1,2,2. 从这袋中任取一球后, 不放回袋中, 再从袋中任取一球. 设每次取球时, 袋中各个球被取到的可能性相同. 以x,h分别记第一次, 第二次取得的球上标有的数字, 求(x,h)的分布密度.,2019/7/23,13,解 (x,h)可能取的值为数组(1,2), (2,1), (2,2). 不难算出,2019/7/23,14,所求分布密度为,2019/7/23,15,第三节 二维连续型随机变量,2019/7/23,16,与一维连续型随机变量类似: 设(x,h)为一个二维随机变量. 如果存在着一个定义域为整个xOy平面的非负函数j(x,y), 使(x,h)的分布函数可表为,D如图6-1所示, 则称(x,h)为二维连续型随机变量, 称它的分布为二维连续型分布, 称j(x,y)为(x,h)的分布密度.,2019/7/23,17,这里的积分涉及广义二重积分. 区域为无界的广义二重积分的定义如下: 设D是xOy平面内的无界区域, 则函数f(x,y)在D上的广义二重积分定义为,其中D1为D内的任意有界区域.,2019/7/23,18,二维分布密度具有下列性质:,(4),其中D为xOy平面内任一区域.,2019/7/23,19,最常遇到的二维连续型分布是二维正态分布. 它的分布密度为,(5),其中a,b,s1,s2,r均为常数, 且s10, s10, -1r1,2019/7/23,20,例2 已知二维随机变量(x,h)的分布密度为,又(1)D为xOy平面内由不等式x1,y3所定的区域; (2) D为xOy平面内由不等式x+y3所定的区域. 求P(x,h)D,2019/7/23,21,(1)和(2)中D的示意图,x,O,1,2,2,3,4,y,x,O,1,2,2,3,4,y,2019/7/23,22,解 (1),(2),2019/7/23,23,第四节 边缘分布,2019/7/23,24,设(x,h)为一个二维随机变量. 事件xx就是指事件xx,h+. 由(x,h)的分布函数可以定出x的分布函数: Pxx=Pxx,h+. 这样定出的一维分布称为关于x的边缘分布. 类似地,关于h的边缘分布的分布函数为 Phy=Px+, hy.,2019/7/23,25,设(x,h)的分布函数为F(x,y), 那末关于x的边缘分布函数为,(6),同理可得, 关于h的边缘分布函数为,(7),下面分别讨论离散型, 连续型分布中的边缘分布.,2019/7/23,26,设(x,h)为二维离散型随机变量, 它的分布密度如表(2)所示, 则,因此x的分布密度为,(8),2019/7/23,27,同理可得, 关于h的边缘分布也是离散型的, 且它的分布密度为,其中,(9),2019/7/23,28,例3 设二维离散型随机变量(x,h)的分布密度为,求关于x及关于h的边缘分布的分布密度,2019/7/23,29,解 按表(8),(9)分别得所要求的分布密度为,2019/7/23,30,设二维连续型随机变量(x,h)的分布密度为j(x,y), 按式(6)有,可见关于x的边缘分布也是连续型的, 它的分布密度为,(10),2019/7/23,31,同理可得, 关于h的边缘分布也是连续型的, 它的分布密度为,(11),2019/7/23,32,例4 设(x,h)服从区域A上的均匀分布, 即它的分布密度,(12),其中S(A)为区域A的面积.如果A是由x轴,y轴及直线x+(y/2)=1所围成的三角形区域,求关于x及关于h的边缘分布密度.,O,x,1,2,A,y,2019/7/23,33,解 因S(A)=1, 所以,按式(10), 得关于x的边缘分布密度为,按式(11), 得关于h的边缘分布密度为,2019/7/23,34,例5 设(x,h)服从二维正态分布, 它的分布密度为,(13),求关于x及关于h的边缘分布密度.,2019/7/23,35,解 按式(10)有,2019/7/23,36,作代换,便得关于x的边缘分布密度为,即这边缘分布为N(0,1).,2019/7/23,37,按式(11), 同理可得关于h的边缘分布密度为,即这边缘分布也是N(0,1). 从这个例子可以看到:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 而且这两个边缘分布都不依赖于参数r. 这一事实表明: 单单由关于x及关于h的边缘分布, 一般说来是不能确定二维随机变量(x,h)的分布的.,