乘法公式与全概率公式.ppt

条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,1.4 条件概率与三个概率公式,一、条件概率,对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；,但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；,但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.,我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。,若记B为至少有一男孩，则上述概率为,条件概率的计算公式规定如下：,例1 设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。,解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则,法二：,法一:,A发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中B所含样 本点个数,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,不难验证条件概率具有以下三个基本性质：,(1) 非负性,(2) 规范性,(3) 可加性,并由此推出条件概率的其它性质：,1.设A与B互不相容,且P(B)0,则P(A|B)=_,2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6,练习,0,注：概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异， B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本 空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S 。,因而有,作业,P:19 习题1-4 1,二、乘法公式,由条件概率的公式：,即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 P(AB).,若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A),推广到三个事件：,P (A1A2An ) =P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),一般,与次序无关。,乘法公式,例3 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.,解,记A：合格品；B：一等品，,即一等品率为72%.,例4,例4,三、全概率公式,全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.,综合运用,可加性 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)0,(即每次至多发生其中一个),(即每次至少发生其中一个),B1,B2,B3,B4,B6,B7,B5,B8,集合的划分,A,B1,B2,B3,B4,B6,B7,B5,B8,由概率的可加性及乘法公式, 有,这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.,全概率公式,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,例5 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1，试求：（1）市场上该品牌产品的次品率.,B1、B2 、B3分别表示买到,设A:买到一件次品；,解,加权平均,一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；,例6 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，,由全概率公式,例7 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回. 试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.,解,记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯， Bi :箱中有i件次品(i =0,1,2)，,由题设知，,由全概率公式知,四、贝叶斯公式,在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到 .,在全概率公式的假定下，有,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.,贝叶斯公式,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例5已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, 次品率分别为3、3、1.（2）如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3, 0.2, 0.5,0.45, 0.3, 0.25,解,全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？,故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。,例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障,解：设A表示产品合格，B表示机器调整良好,例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.,解,因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种