多项式插值唯一性.ppt

多项式插值的存在唯一性 拉格朗日插值,牛顿插值 埃米特插值与三次样条 数据拟合的线性模型 两种典型的正交多项式,数值分析习题课 III,若插值结点 x0, x1,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn 存在而且惟一。,多项式插值的存在唯一性定理,Laglarge插值公式,插值基,( k = 0, 1, 2, , n ),2/18,插值误差余项,其中,线性插值误差:,二次插值误差:,思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。,3/18,已知 x0, x1, , xn 处的值 f(x0), f(x1), , f(xn).,( j = 0,1,n-1 ),( j = 0,1,n-2 ),均差的定义,牛顿插值公式,( k=1,2,n ),思考:证明一阶差商的对称性：fx0，x1 = fx1，x0，进一步证明二阶差商的对称性。,4/18,牛顿插值余项,( j = 0, 1 ),三次Hermite插值,5/18,给定a , b 的分划: a = x0 x1 xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果,满足: (1) S(x)在 xj，xj+ 1上为三次多项式; (2) S”(x)在区间a，b上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 则称S(x)为三次样条插值函数.,三次样条的定义,6/18,( j=1,2,n-1 ),自然边界条件,三次样条一阶导数值: S(xj)=mj (j = 0, 1, n),三次样条二阶导数值: S”(xj)=Mj (j = 0, 1, n),j = 1, n1,自然边界条件: M0 = 0 , Mn = 0,7/18,拟合函数: (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x),数据拟合的线性模型,离散数据,超定方程组,超定方程组最小二乘解:,8/18,对连续函数 f(x) 的正交多项式平方逼近,其中,Ex1.设x0，x1，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明,9/18,Ex2.设x0, x1, x2, , xn为互异的结点,求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式,(1),(2),( k = 1,n ),证: (1)令,在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n ),n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点Pn(x) = 0,10/18,所以,将 f(x) = xk (k n) 代入, 得,(k =0,1,2,n),思考题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明： f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x xn),(2) 取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =0,11/18,Ex4. 设 x0 x1 x2，从函数表,出发, 利用 f(x) 的二次拉格朗日插值多项式 L2(x) 推导出求f(x)的极值点 x* 的近似值计算公式.,Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn) 证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得,12/18,Ex5.设有数列: x1, x2 , , xn , (1).证明平方和数列 为3阶等差数列,证明: (1) Sn = n2 , 2Sn = n2(n-1)2 =2n-1 3Sn = (2n-1)-(2n-3)=2,故平方和数列为 3 阶等差数列.,(2).证明,则,(2)令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/6,13/18,同理,( k = 1,2,n ),显然,14/18,证明: F x0, x1, xn =,Ex6. 记 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn),( j = 1,2, , n ),对比Lagrange插值和Newton插值中 xn 的系数, 得,F x0, x1, xn =,15/18,Ex7. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。,思考: 构造带导数条件的二次插值多项式公式 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；,16/18,解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2x,Ex8.如果 xa, b , t-1, 1, (1)证明联系两个区间的映射为,17/18,Ex9. 一个量 x 被测量了 n次,其结果是a1, a2, an.用最小二乘法解超定方程组 x = aj