北航空气动力学课件第三章.ppt

,空气动力学基础 第三章理想不可压缩流体平面位流,（6学时）,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,第3章 理想不可压缩流体平面位流,31 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 32 几种简单的二维位流 321 直匀流 322 点源 323 偶极子 324 点涡 33 一些简单的流动迭加举例 331 直匀流加点源 332 直匀流加偶极子 333 直匀流加偶极子加点涡 34 二维对称物体绕流的数值解,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程,对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。 为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。 这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程,1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程 初始条件和边界条件为 在t=t0时刻， 在物体的边界上 在无穷远处,思考： 为什么需要边界条件？,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,如果没有无旋条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度 V 和压强 p 相互耦合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即 存在速度势函数（位函数）为,思考： 速度和压力需要耦合求解是什么意思？,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到：,由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适当的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没有进行耦合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为 对于定常流动，质量力只有重力，得到 如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力）,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为： （1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量； （2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为,初始条件为 边界条件为,在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。,边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。,3.1、平面不可压位流的基本方程 （边界条件）,按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：,（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值 （2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值 （3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值 空气动力问题大多数属于第二边值问题,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为 V ，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零 外边界 内边界 n为物面法向 可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的。 求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程。,（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线 （4）连接任意两点的速度线积分等于该两点速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,3、流函数及其性质 根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系） 如果令 由此可见，下列线积分与路径无关（围绕封闭曲线的线积分为零）,存在的充分必要条件是,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样下列微分一定是某个函数的全微分，即 这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动（二维问题），无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。,思考： 为什么二维流动一定存在流函数？,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动 （2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合 在流函数相等的线上，有 上式即为平面流动的流线方程。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（3）流函数在某一方向的偏导数等于顺时针旋转90度方向的速度分量 根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有 （4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（5）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交） 等流函数线是流线，有 另一方面，过该点的等势函数线方程为 在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为 说明流线与等势线在同一点正交。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（6）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。这样在流场中存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,流网不仅可以显示流速的分布情况(方向），也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。,如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即 表示流速与相邻流线的间距成反比，因此流线的疏密程度反映了速度的大小。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（1）以速度势函数为未知函数的提法 （2）以流函数为未知函数的提法 （3）以复位势w(z)为未知函数提法,理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 共有三种数学提法。设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这个绕流问题。,需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。,位函数的性质小结,速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。 (2) 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数的数值沿着流线方向增加。 (3) 对于理想不可压缩无旋流动，从连续方程出发，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。 (4) 速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度方向垂直于等位线。 (5) 连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。,流函数的性质小结,(1) 流函数由平面不可压缩流动的连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。 (2) 等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。 (3) 对于理想不可压缩平面无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。,位函数 和流函数 之间满足柯西-黎曼条件：,速度分量与位函数和流函数之间的关系是：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,1、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。 其流速为 位函数为 常用平行于 x 轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 。相应的流函数和势函数为,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,2、点源 源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 ，而没有 。 设半径为r处的流速是 vr，那么这个源的总流量是,流量是常数，故流速 vr 与半径成反比。流函数的表达式是 或,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,位函数从 的式子积分得到 在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,如果源的位置不在坐标原点，而在A点（,）处,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,3、偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在 x 轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,应用叠加原理，位函数和流函数如下 其中 表示流场点 P 分别与源和汇连线与x轴之间的夹角。 现在我们考虑一种极限情况，当h0，但同时Q增大，使,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,保持不变的极限情况。这时位函数变成： 对偶极子而言，等位线是一些圆心在 x 轴上的圆，且都过原点。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,偶极子的流函数: 取 h0而 Qh/2=M 保持不变的极限结果，是,流线也是一些圆，圆心都在 y 轴上，且都过源点O： 两个分速的表达式是： 合速度为：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以 x 轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子是指向负 x 方向的。如果偶极子轴线和 x 轴成 角，正向指向第三象限，则势函数和对应流函数分别为：,如果偶极子位于（，），轴线和 x 轴成 角，正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为：,2010年版本,3.2、几种简单的二维位流,4、点涡 点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有 V，而没有Vr 。 式中的 是个常数，称为点涡的强度，逆时针 方向为正。分速 V 和离中心点的距离 r 成反比 ，指向逆时针方向。其位函数和流函数分别为,等势线是射线，流线是圆,由几何条件可立刻写出 u 、 v 分量：,位函数可由上式代入 然后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：,积分后得：,显然等位线=C是 一系列射线,怎么求位函数？,求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：,积分得：,显然流线 = C 是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。,怎么求流函数？,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,如点涡位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数和流函数为： 沿任意形状的围线计算环量，只要这个围线把点涡包围在内，环量值都是 ，但不包含点涡在内的围线，其环量等于零。,2010年版本,3.2、几种简单的二维位流,这种点涡其实应该看作是一根在 z 方向无限长的直涡线。涡本来是有旋流动，但像这样一根单独的涡线所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。当 r 0时，速度趋近于无穷大，相应的压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分布规律，速度在半径方向的变化率是： * 当 r 很小之后，这个变化率极大，这时粘性力必然要 起作用（粘性力与速度的法向变化率成正比）。结果， 实际涡总是有一个核，核内流体的不是与 r 成反比，而 是与r 成正比。但核外的流速是与 r 成反比的，如图所 示。核内是有旋流，核外是无旋流。这个核的尺寸究竟 有多大？它是因流体的粘性大小及涡强大小而不同的。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,一般地说，这个尺寸不大，我们作外部流场的计算时，可以不管它，把它看作很微小就行了。这里要说明的一个事实是，涡对于外部流场是产生诱导速度的（即扰动），其值与至中心的距离成反比，但对它自己的核心是没有诱导速度的。,直匀流：,基本解位函数、流函数小结：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,1 、直匀流加点源 在一个平行于 x 轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是： 两个分速是： 在 x 轴线上有一个合速为零的点，即驻点 A。,3.3、 一些简单的迭加举例,令 uA=0, vA=0 即得驻点 xA 坐标为：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,流动的流函数是： 对于零流线 是一条通过坐标原点的水平线。 对于 的流线方程为： 得到解为： 说明是通过驻点的一条水平流线。 对于非水平流线，半径 r： 如对于 相应的半径 r 为：,y,流线BAB的形状可以根据流函数=c 画出来，也可以从流量关系推算出来。由流函数表达：,由驻点坐标（y=0,=) 定常数c，得 cQ / 2 ，从而得流线BAB的方程为：,用直角坐标表达，注意到反正切的值域为-/2,/2：,该流线与 y 轴交于 处，当,即流线在无穷远处趋于宽度为 的直线。,从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在围线中，由速度分布知：,而源的流量为Q，以速度 V 流过时将占据宽度 D=Q / V,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,全部流线谱中，经过驻点A的流线BAB是一条特殊的流线， 。它像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流线是气流不可逾越的线。一个物体放在气流里，它的边界也是气流不可逾越的界线，气流只能与物体边界相切着流过去。所以，我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB那样形状的物体所造成的流动。不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个半无限体在 +x 无限远处，其宽度（y 向尺寸）趋向一个渐近值 D 为：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,通常将压强表为无量纲的压强系数 Cp ，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。 不可压无粘流时： 沿这个半无限体的外表面，压强系数是：,why?,* 压强系数与来流参数具体值 p 、V 无关，具有通用性,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,首先，A点是驻点，这一点的 Cp 一定等于 +1。从驻点往后， Cp迅速下降，在距A不很远的地方， Cp 降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之后，流速达最大值， Cp 达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点。过了最大速度点之后气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方来流一样大 。这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。,直均流加变强度点源,直均流加等强度点源、点汇,用分布的点源、点汇构造物面,直均流加偶极子,实验演示的直均流加点源和点汇的其他例子,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,2、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流） 只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设直匀流平行于 x 轴，由左向右流。再把一个轴线指向负 x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数和流函数分别是： 流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的坐标定出来。令：,why?,2010年版本,3.3、 一些简单的迭加举例,得到 a 就是圆半径。这样位函数和流函数可以写为： =0是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点的 x 轴线；另外还有 是半径为 a 的圆。两个速度分量为：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,在圆周上，r = a，速度分量为： 相应的压强系数为：,* 绕圆流动在表面上只有周向速度，没有径向速度,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,在圆周前后驻点，=0， =，压强系数等于1.0。从前驻点往后流，在 =150 处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，在=/2 处达最大速度，其值二倍于来流的速度，Cp 是（3.0）。过了最大速度点以后，气流减速，在 =0处降为零，这一点称为后驻点。这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。 不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物体流下去，不可能进行完全的减速结果水平方向是有一个阻力的 。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,达朗培尔疑题 达朗培尔（DAlembert）18世纪法国著名数学家，他提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。 后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验得出来的良好翼型，最大的升阻比不过是几十比一，后来在位流理论指导下，设计出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导意义 。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,粘性流体绕圆柱的流动显示实验,二维圆柱扰流的卡门涡街,有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,3、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流） 在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（ ）的点涡（顺时针转为负）。 这时的流函数和位函数为,3.3、 一些简单的迭加举例,在极坐标下，两个分速度为 r=a仍是一条流线。在这个圆上 Vr =0，圆周速度为： 驻点现在不在 其位置可以从： ，定出来： 在第三和第四象限内，前后驻点对 y 轴是对称的。这个角度离开和0的 多少决定于环量对速度乘半径a之比值；比值越大，驻点越往下移。,* 此时流函数数值不为零,下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：,显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的 y 方向合力就不会为零。 垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得）。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,用动量定理来计算绕圆柱的有环量流动的升力。以原点为中心，画一个半径为 r1很大的控制面 S，整个的控制面还包括圆的表面 S1 及连接 S 和 S1 的两条割线。不过这两条割线上的压力和动量进出 都对消了，不必管它受力情况左右对称，不 会有 X合力。我们只计算 Y 方向合力就行了。 彻体力略去不计；流动是定常的。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,动量积分方程变为： 在 r1 的大圆上：,Lp,Lv,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。 对于单位时间动量的净流出量计算如下：,3.3、 一些简单的迭加举例,在 y 方向的速度分量是： 单位长度圆柱所受的总升力为：,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源的强度总和必须等于零。这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地方（我们可以取r1 很大），其作用和一个偶极子没什么区别。这就说明了物形对升力没有直接的关系，关键的问题在于必须有一个绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有一个升力。 库塔-儒可夫斯基定理 一个封闭物体所受升力L等于来流的密度 乘速度再乘以气流方向逆着环流旋转90。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,3.3、 一些简单的迭加举例,环量之所以能产生一个 Y 向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上半圆（由至0）上的压力分布和下半圆（由至2）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上的吸力 。,从“野渡无人舟自横”到“香蕉球”技术 浅谈“香蕉球”的力学原理,2010年版本,34 二维对称物体绕流的数值解,把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加起来，所得到的组合流动为对称封闭物体绕流。设直匀流沿 x 轴正向流来，其速度为V，在 x 轴上 x =a和 x =b 范围内连续分布一系列的偶极子，单位长度内偶极子的强度设为m（偶极子密度）。 如果偶极子密度的分布形式已知，则离原点距离为 的小区间内由偶极子产生的流函数为： 总流函数为： 。物体的外形可以用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体，由流函数和速度以及速度与压强的关系确定流场中各点及物体表面的速度分布和压强分布。,奇点叠加数值解法,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的特性。在这种情况下，偶极子密度分布函数的确定需要由流函数求解。对偶极子密度来说，流函数是一个积分方程，求它的解是比较困难的。但是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地获得这种方程的有一定准确度的数值解。 下面简单地叙述用数值方法求解已知物体形状确定绕物体流动特性的过程。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,1、数值解法步骤 首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的 n 段，设每段的宽度为，段数 n 可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。流场中某一定点P处的流函数为： 式中 为第 j 段中点离原点的距离； 为第 j 段内偶极子密度的平均值； 表示第 j 段内偶极子的强度。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,用物面边界条件来确定待求的偶极子密度 对于给定物体外形上的n个已知点（xi，yi），就可以得到一个对未知函数的 n 元一次联立代数方程组： 其中 为影响系数，表示 处的单位偶极子 密度对物体表面某点Pi (xi, yi) 处的流函数贡献。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,展开上式，即 利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，确定偶极子密度。,2010年版本,北京航空航天大学空气动力学国家精品课,34 二维对称物体绕流的数值解,一旦所给定物体外形的偶极子密度分布已经解得，则可以确定流场内任意点处的流函数。此后即可由流函数与速度的关系式及