高考数学第八篇平面解析几何第6节圆锥曲线的综合问题（第一课时）直线与圆锥曲线的位置关系应用能力提升.docx

第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,2,4弦长问题5,7,11,12中点弦问题3,9直线和圆锥曲线的综合问题6,8,10,13基础巩固(建议用时:25分钟)1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为(D)(A)1(B)1或3(C)0(D)1或0解析:由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,则y=2,符合题意.若k0,则=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.故选D.2.若直线kx+y-1=0(kR)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是(C)(A)(0,1) (B)(0,5)(C)1,5)(5,+) (D)1,+)解析:直线kx+y-1=0恒过点(0,1),由题意知,该点在椭圆内或椭圆上,故有解得m1且m5,故选C.3.(2018河南中原名校质检二)直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(ab0)相交于两点A,B,线段AB的中点为 M(1,1),则椭圆的离心率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则-整理得,=-,又kAB=-,AB的中点为M(1,1),所以-=-,所以=,所以e=.故选A.4.(2018广东珠海市九月摸底)已知抛物线C:y2=4x,过点P(-2,0)作直线l与C交于A,B两点,直线l的斜率为k,则k的取值范围是(A)(A)(-,0)(0,) (B)-,(C)(-,) (D)-,0)(0,)解析:设直线l的方程为y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,当k=0时,不合题意,当k0时,=16(k2-1)2-16k40,所以0k2b0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为.解析:把x=c代入椭圆方程解得y=,所以弦长=2,则解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=16.如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则=.解析:不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=2,则A(-2,1),D(2,1),易得B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以=-1.答案:-1能力提升(建议用时:25分钟)7.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+等于(D)(A)2(B)4(C)(D)解析:由抛物线y2=4x,可知2p=4,设直线l1的倾斜角为(为锐角),则l2的倾斜角为+,AB,CD为过焦点的弦,|AB|=,|CD|=,所以+=+=.故选D.8. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MFx轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于(A)(A) (B) (C) (D)解析:因为MFx轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到lMN的距离d=1,解得k=(负值舍去).又因为即N(,-),所以|NF|=.故选A.9.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为.解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由-得(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),显然x1x2.所以=3,即kMN=3,因为M,N关于直线y=x+m对称,所以kMN=-1,因为y0=-3x0.又因为y0=x0+m,所以P(-,),代入抛物线方程得m2=18(-),解得m=0或-8,经检验都符合.答案:0或-810.设A,B分别为椭圆+=1(ab0)和双曲线-=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=(+),其中R,|1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4=.解析:如图所示,因为满足+=(+),其中R,|1,所以-2=(-2),所以O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),=k0.则-=1,+=1,所以=,=-,因为k1+k2=5,所以5=+=.所以k3+k4=+=-=-5.答案:-511.(2018全国卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.12.已知椭圆C:+=1(ab0)过点(1,),离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当F2AB的面积为时,求直线的方程.解:(1)因为椭圆C:+=1(ab0)过点(1,),所以+=1.又因为离心率为,所以=,所以=.解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)当直线的倾斜角为时,不妨取A(-1,),B(-1,-),=|AB|F1F2|=32=3.当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k(x+1),代入+=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以=|y1-y2|F1F2|=|k|=|k|=,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1(k2=-舍去),所以k=1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.13.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线AB:y=kx+m(k0)与椭圆C交于不同的A,B两点,以线段AB为直径的圆经过点F2,且原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程.解:(1)因为双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,椭圆C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.所以d=得c=1,又离心率e=,则a=,b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由原点O到直线AB的距离为,得=,即m2=(1+k2), 将y=kx+m(k0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段AB为直径的圆经过点F2,所以=0,即(1-x1)(1-x2)+y1