高考数学第八章分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合基本问题练习理新人教A版.docx

第八章计数原理、概率与统计【p96】第45讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合基本问题夯实基础【p96】【学习目标】1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题2理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题【基础检测】1图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，不同的取法有()A12 B16 C64 D120【解析】由于书架上有35816本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法【答案】B2火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有()A105种B510种C50种D以上都不对【解析】每个乘客都有5种不同下车方法，相互独立，故乘客下车的可能方式有555510种【答案】B3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A8种B9种C10种D12种【解析】分3步进行：为甲地选一名老师，有C2种选法；为甲地选两个学生，有C6种选法；剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法则不同的安排方案共有26112种【答案】D4在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_种【解析】选择两门理科学科，一门文科学科，有CC9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种【答案】105下列等式中成立的有_(填写序号)C；CC；CCC；A(n2)(n1)A.【答案】【知识要点】1分类加法计数原理完成一件事件有n_类_不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N_m1m2m3mn_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的_步骤_，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_m1m2mn_种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及_完成一件事情_的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与_分类_有关，各种方法_相互独立_，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与_分步_有关，各个步骤_相互依存_，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成4排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，_按照一定的顺序排成一列_，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素的_所有排列_的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)，这里n，mN*，并且mn.(4)全排列：n个不同的元素全部取出的_一个排列_，叫做n个不同元素的一个全排列，即An(n1)(n2)21_n！_于是排列数公式写成阶乘的形式为A_规定0！_1_5组合(1)组合的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素_并成一组_，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的_所有组合_的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用C表示(3)组合数的计算公式：C_，这里n，mN*，并且mn.C_1_(4)组合数的性质：C_C_；C_C_C_典例剖析【p97】考点1分类加法计数原理的应用(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A12种B19种C32种D60种【解析】分两类：一类是直接从甲到乙；另一类是从甲经丙再到乙，可分两步第一类有n14种方法，第二类有n25315种方法，由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法nn1n241519.【答案】B(2)数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有_种【解析】分三类：其一是选择、填空、解答各一道，有CCC288种取法；其二是选择题2道、填空题0道、解答题1道，有CCC396种取法；其三是选择题1道、填空题0道、解答题2道，有CCC180种取法，综上满足题设的不同取法种数为n288396180864.【答案】864(3)已知集合M1，2，3，4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xy恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有_个【解析】当A1时，B有231种情况；当A2时，B有221种情况；当A3时，B有1种情况；当A1，2时，B有221种情况；当A1，3，2，3，1，2，3时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)【答案】17【点评】利用分类加法计数原理解题时2个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复考点2分步乘法计数原理的应用(1)有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有()A4 320 B2 880 C1 440 D720【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理得不同的涂色方法共有6543344 320种【答案】A(2)从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)【解析】一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218个二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326个偶函数【答案】18；6(3)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法【解析】第一类：既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有313种选法第二类：既会排版又会印刷的2人中选出1人，有2种选法若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2316种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有23212种选法；再由分类计数原理知共有61218种选法第三类：既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法所以共有3181637种选法【点评】利用分步乘法计数原理解题时3个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定考点3组合基本问题某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解析】可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100(种)恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种【点评】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理考点4排列基本问题有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数(1)全体排成一行，其中甲只能在正中间或者两边位置(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起(4)全体排成一行，男、女相间(5)全体排成一行，男生不能排在一起(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变(7)排成前后二排，前排3人，后排4人(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人【解析】(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择，有A种，其余6人全排列，有A种，由乘法原理得AA2 160种(2)位置分析法，先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种，则符合条件的排法共有AAAA3 720种(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列共有AA720种(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA144种(5)插空法：先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA1 440种(6)定序排列：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此ANA，N840种(7)与无任何限制的排列相同，有A5 040种(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA种最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可共有AAA720种【点评】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法方法总结【p98】1计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否是按元素的性质进行，分步是否是按事件发生的过程进行2排列与组合的定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关处理排列组合问题的一般思想是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，要注意积累分类与分步的基本技能3分清问题与元素顺序有关还是无关，是区分排列组合问题的原则；搞清解决问题的方法需分步还是需分类，是统计排列与组合问题总数的依据走进高考【p98】1(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9【解析】EF有6种走法，FG有3种走法，由乘法原理知，共6318种走法【答案】B2(2017天津)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)【解析】一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有9601201 080(个)【答案】1 0803(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)【解析】可分两种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC12(种)，有2位女生入选，不同的选法有CC4(种)根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同选法有16种【答案】16考点集训【p228】A组题1如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A6，8 B6，6 C5，2 D6，2【解析】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有236种；再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628种走法【答案】A2若A2A，则m的值为()A5 B3 C6 D7【解析】根据题意，若A2A，则有m(m1)(m2)(m3)(m4)2m(m1)(m2)，即(m3)(m4)2，解得：m5.【答案】A3某人的手机号码为139，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A20 B25 C32 D60【解析】依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.【答案】C4元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲，乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置顺序)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A18种B24种C48种D36种【解析】由题意，第一类，(1)班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为CC4种，故有3412种；第二类，(1)班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为CC4种，这时共有3412种根据分类加法计数原理得，共有121224种不同的乘车方式【答案】B54名运动员参加4100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有()A12种B14种C16种D24种【解析】由于4名运动员四棒全排共有A432124种，其中甲跑第一棒的种数为A3216；乙跑第四棒的种数为A3216；其中甲跑第一棒，同时乙跑第四棒的种数为A.则所有不同出场的顺序为A2AA2412214.【答案】B6某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_种【解析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有A种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3AA36种；当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共A6种综上，编排方案共36642种【答案】427两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，假设不会出现平局，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有_种【解析】利用分类讨论法求解由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C3种情况；同理，若乙赢也有3种情况共有6种情况当为5场时，前4场甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C12种情况由上综合知，共有20种情况【答案】208在0，1，2，3，9这十个自然数中，任取三个不同的数字则组成的三位数中是3的倍数的有_个【解析】若组成的三位数能被3整除，则先把0，1，2，3，9，这十个自然数中分为三组：(0369)；(147)；(258)若每组中各取一个数，含0，共有CCCA36种；若每组中各取一个数不含0，共有CCCA162种；若从每组中各取三个数，共有3ACAA30种综上，组成的能被3整除的三位数共有3616230228种【答案】228B组题1某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为()A2 160 B1 320 C2 400 D4 320【解析】每个社团都有人参加有2种情况，第一种，有1个社团有3人参加其于3个社团每个社团都是1人参加，利用间接法，有(CC)A384种，第二种，有2个社团分别都有2人参加，另外2个社团都是有1人参加，利用间接法，有A936种，所以分类加法计数原理，可得3849361 320种【答案】B2四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著红楼梦、三国演义、水浒传、西游记(每种名著均有若干本)，要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅三国演义，则不同的借阅方案种数为_【解析】根据题意，要求甲借阅三国演义，分2种情况讨论，乙、丙、丁、戊有1人与甲一起借阅三国演义，在4人选出1人，与甲一起借阅三国演义，有4种情况，让剩下的三人对应剩下的三本名著，有A6种情况，则此时有4624种不同的借阅方案；乙、丙、丁、戊中没有人借阅三国演义，在4人选出2人，共同借阅除三国演义外的一本名著，有CC18种情况，将剩下的2人对应剩下的2本名著，有A2种情况，则共此时有18236种不同的