高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第62讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习理新人教A版.docx

第十章直线与圆、圆锥曲线第62讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯实基础【p142】【学习目标】1理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式2掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程3了解斜截式与一次函数的关系【基础检测】1点(，4)在直线l：axy10上，则直线l的倾斜角为()A30B45C60D120【解析】点(，4)在直线l：axy10上，a410，a，即直线的斜率为，直线l的倾斜角为60.【答案】C2过点(2，0)且与直线x2y30垂直的直线方程是()Ax2y20B2xy20C2xy40Dx2y20【解析】因为所求直线方程与直线x2y30垂直，设所求直线的方程为2xyc0，因为直线过点(2，0)，代入可得220c0，解得c4，所以所求直线的方程为2xy40.【答案】C3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1D2或1【解析】当a0时，直线方程为y2，显然不符合题意，当a0时，令y0时，得到直线在x轴上的截距是，令x0时，得到直线在y轴上的截距为2a，根据题意得2a，解得a2或a1.【答案】C4下列说法正确的是()A.k表示过点P(x1，y1)的所有直线方程B直线ykxb与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b|OB|C在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是1D方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线【解析】选项A中方程只表示斜率存在的直线；选项B中纵截距是纵坐标而不是距离；选项C是在a0且b0时的直线方程，故答案选D.【答案】D5已知直线l过点P(3，2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当AOB的面积取最小值时，直线l的方程为_【解析】法一：易知直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，则A，B(0，23k)，所以SAOB(23k)(1226)12，当且仅当9k，即k时等号成立所以当k时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为y2(x3)，即2x3y120.法二：设直线l的方程为1(a0，b0)，将点P(3，2)代入得12，即ab24，当且仅当，即a6，b4时等号成立，又SAOBab，所以当a6，b4时AOB的面积最小，此时直线1的方程为2x3y120.【答案】2x3y120【知识要点】1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_正向_与直线l_向上方向_之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_(2)倾斜角的取值范围：_0180_2直线的斜率及斜率计算公式(1)直线的倾斜角不等于90时，其_正切值_叫做该直线的斜率，记作ktan(90)；直线的倾斜角等于90时，其斜率_不存在_(2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k_(3)k0_(0，90)_，k0_(90，180)_特别地：k0时，0，k不存在时，90.(4)直线的方向向量若直线方程为AxByC0，则其方向向量a(B，A)或(B，A)若直线方程为ykxb，则其一个方向向量a(1，k)若F1(x1，y1)，F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则其一个方向向量为a(x2x1，y2y1)3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_yy0k(xx0)_不含垂直于x轴的直线斜截式_ykxb_不含垂直于x轴的直线两点式_不含垂直于坐标轴的直线截距式_1_不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_AxByC0_(A，B不同为0)平面直角坐标系内的直线都适应(1)当x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为_xx1_；(2)当x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为_yy1_4线段的中点坐标公式线段P1P2两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则典例剖析【p142】考点1直线的倾斜角与斜率(1)图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk2k30，k20，k3k2，综上可知：k2k3k1.【答案】D(2)已知坐标平面内三点P(3，1)，M(6，2)，N(，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围是()A45，150B45，135C60，120D30，60【解析】P(3，1)，N(，)，直线NP的斜率k1.同理可得直线MP的斜率k21.设直线l与线段AB交于Q点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q从M向N移动的过程中，l的倾斜角变大，l的斜率也变大，直到PQ平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到直线NP的斜率，此时l的斜率k.可得直线l的斜率取值范围是1，)直线l的倾斜角的取值范围是45，150【答案】A考点2直线方程的求法根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(0)，从而cos，则ktan.故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.因为tan3，所以tan2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3，4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况考点3直线方程的综合应用(1)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_【解析】函数y|xa|1的图象关于直线xa对称，且xa处为图象的最低点(a，1)，要使y2a与y|xa|1只有一个交点，必有2a1，解得a.【答案】(2)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【解析】直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0，0)，B(1，3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立【答案】5方法总结【p143】1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解(1)要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化由倾斜角探究斜率k可分和两类讨论由斜率k探究倾斜角可分k0和k0两类讨论(2)“截距”与“距离”是两个不同的概念2因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种：(1)直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入3由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况选择截距式时，注意截距为零的情况走进高考【p143】1(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_【解析】因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BAD45.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3.【答案】3考点集训【p256】A组题1直线xy10的倾斜角是()A.B.C.D.【解析】设直线xy10的倾斜角为.直线方程为xy10.直线xy10的斜率为，tan，0，)，.【答案】C2如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限【答案】C3经过点M(2，2)且在两坐标轴上截距相等的直线是()Axy4Bxy2或xyCx2或y2Dxy4或xy【解析】直线经过原点时满足条件，可得方程yx；直线不经过原点时满足条件，可设方程xya，把点M(2，2)代入可得：22a，即a4，方程为xy4.综上可得直线方程为：xy或xy4.【答案】D4把直线xy10绕点(1，)逆时针旋转15后，所得直线l的方程是()AyxByxCxy20Dxy20【解析】已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45，则直线l的倾斜角451560，直线l的斜率为tantan60，直线l的方程为y(x1)，即yx.【答案】B5若点M和N都在直线l：xy1上，又点P和点Q，则()A点P和Q都不在直线l上B点P和Q都在直线l上C点P在直线l上且Q不在直线l上D点P不在直线l上且Q在直线l上【解析】由题意得：易得点Q满足b1，由方程组得两式相加得c1，即点P在直线l：xy1上，故点P和Q都在直线l上【答案】B6在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若2，则直线l的方程是_【解析】设A(a，0)，B(0，b)，由2，可得a12(01)，012(b1)，则a3，b，由截距式可得直线方程为l：1，即x2y30.【答案】x2y307若ab0，且A(a，0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_【解析】根据A(a，0)、B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1B2C4D8【解析】直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.【答案】C2若直线ykx1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是_【解析】如图所示，由直线l：ykx1，可知直线l过定点P(0，1)kPA，kPB1.直线ykx1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点，kkPA或kkPB，即k或k1.实数k的取值范围是(，1.【答案】(，13如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程【解析】由题意可得kOAtan451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A、P、B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)当AB斜率不存在时，A(1，1)，B，则点C不在直线yx上，不合题意故直线AB的方程为(3)x2y30.4已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围