结构力学第三章习题解析.ppt

第三章 结构地震反应分析 与抗震计算,3.1 概述 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 3.6 竖向地震作用 3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响 3.8 结构非弹性地震反应分析 3.9 结构抗震验算,3.1 概述,由地震动引起的结构内力、变形、 位移及结构运动速度与加速度等,一、结构地震反应,：由地震动引起的结构位移,地面运动,结构动力特性：自振周期，振型和阻尼,1.结构地震反应,2.结构地震位移反应,：,结构地震反应 影响因素,结构的地震作用效应就是指在地震作用下在结构中产生的弯矩、剪力、轴向力 和位移等。,3.1 概述,：能引起结构内力、变形等反应的各种因素,二、地震作用,作用分类,各种荷载：如重力、风载、土压力等,各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等,等效地震荷载,：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用,作用,直接作用,间接作用,结构的地震作用:地震时，由于地面运动使原来处于静止的结构受到动力作 用，产生受迫振动，由于地面的强迫振动在结构上产生的惯性力,地震作用的确定：反应谱理论和动力理论,反应谱理论：将多个实测的地面振动波分别代入单自由度反应方程，计算出 各自最大弹性地震反应（加速度、速度、位移），从而得出结构最大地震 反应与该结构自振周期的关系曲线，这个曲线就是反应谱，在工程中应用 比较广泛的是加速度反应谱。由于反应谱可计算出最大地震作用，然后按 静分析法计算地震反，所以仍属于静力法。但由于反应批理论较真实地考 虑了结构振动特点，计算简单实用，因此目前是各国建筑抗震规范中给出 的一种主要抗震分析方法。,动力理论是直接通过动力方程采取逐步积分法求解出地震反应与时间的关 系曲线，这条曲线成为时程曲线，因此该方法又称为时程分析法。时程分 析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可处理强震下 结构的弹塑性变形，因此已成为抗震分析的一种重要方法，但由于时程法 只能使用特定的地震波，而且计算分析量大，因此目前我国规范仍主要采 用反应谱法进行抗震分析。,随着计算机技术和有限元理论的发展，利用大型有限元软件如Ansys, MSC.Marc等对结构进行地震发应分析和有限元仿真分析已开始等到广 泛的应用。,3.1 概述,1. 连续化描述（分布质量）,三、结构动力计算简图及体系自由度,描述结构质量的两种方法,采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：,2. 集中化描述（集中质量）,工程上常用,定出结构质量集中 位置（质心）,将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去,集中化描述举例,a、水塔建筑,主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分,水箱全部质量 部分塔柱质量,集中到水箱质心,单质点体系,b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）,主要质量：屋面部分,厂房各跨质量,集中到各跨屋盖标高处,集中化描述举例,c、多、高层建筑,主要质量：楼盖部分,多质点体系,d、烟囱,结构无主要质量部分,结构分成若干区域,集中到各区域质心,多质点体系,3.2 单自由度弹性体系的地震反应,一、运动方程,地面水平运动的位移,质点相对地面的水平位移,质点的绝对位移,相应的绝对加速度,惯性力I为质点的质量m与绝对加速度的乘积,弹性恢复力S是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力，它的大小与质点 离开平衡位置的位移成正比,阻尼力D是一种使结构振动不断衰减的力，即结构在振动过程中，由于材料的内 摩擦、构件连接处的摩擦、地基土的内摩擦以及周围介质对振动的阻力等，使得 结构的振动能量受到损耗而导致其振幅逐渐衰减的一种力。阻尼力有集中不同的 理论，目前应用最广泛的是所谓的粘滞阻溺理论，它假定阻尼力的大小与质点的 速度成正比,根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任意瞬时，作用在物体上的外力与惯性力互相 平衡,力的平衡条件：,令,二、运动方程的解,1.方程的齐次解自由振动,齐次方程：,自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动,为共轭复数,，,（2）若,方程的解：,特征方程,特征根,（4）若 ， 、 为负实数,（3）若,，,、,物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置， 完全不可能再作往复振动过阻尼状态,物体从开始的最大位移处快速逼近平衡位置 临界阻尼状态,体系产生振动 欠阻尼状态,其中,图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动,当,临界阻尼系数：,临界阻尼比（简称阻尼比）,（1）若,体系产生振动 无阻尼状态,任何一个振动系统，当阻尼增加到一定程度时，物体的运动是 非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢地回到平 衡位置就停止了。当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又 能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼”，或中肯阻 尼状态。如果阻尼再增大，系统则需要很长时间才能达到平衡 位置，这样的运动叫过阻尼状态，系统如果所受的阻尼力较小 ，则要振动很多次，而振幅则在逐渐减小，最后才能达到平衡 位置，这叫做“欠阻尼”状态。,所谓“欠”阻尼，说明阻尼不够大，因此这个阻尼并不足以阻止振动越过平 衡位置。此时系统将做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动。系统的运动被不断 阻碍，所以振幅减衰，并且振动周期也是越来越长。经过较长时间后，振动 停止。此时的振动方程是正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。,欠阻尼,图所,所谓“过”阻尼，说明阻尼太大，振动根本无法越过平衡位置，只能以非周期运动形式缓慢地向平衡位置移动。为什么又要“缓慢地”？是因为阻尼过大，所以这阻碍了振动向平衡位置的移动，导致这种阻尼振动的停止也很缓慢。此时已经没有振幅、周期一说了。这种振动的方程是双曲正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼、过阻尼使振动回到平衡位置所需时间都较长，那怎样使所需时间最短呢？当阻尼取一个特定的值的时候，振动会很快地靠近平衡位置，但又不越过平衡位置。这种振动的振动曲线似乎和过阻尼很像，但它们的振动方程完全不一样。过阻尼的振动方程是双曲正弦函数、指数函数的积，而临界阻尼的振动方程是正比例函数、指数函数的积。三种阻尼振动中，以临界阻尼回到平衡位置所需时间最短。其阻尼大小小于过阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各种需要尽快停止振动的地方，都尽力地调节其振动的频率、阻尼大小，使其达到临界阻尼状态，最大程度地消除振动的影响。,初始条件:, 初始速度,则,体系自由振动位移时程,初始位移,当 （无阻尼）,固有频率，体系的圆频率，质点在2时间内的振动次数,固有周期,无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动,自振的振幅将不断衰减，直至消失,有阻尼体系,无阻尼体系自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰 减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减 就越快。,严格地说，有阻尼单自由度体系的自由振动不具有周期性，因为体系在自由振动过程 中其振幅不断衰减。但由于体系的运动是往复的，指点每振动一个循环所需要的时间 间隔是相等的，因此就把这个时间间隔称为有阻尼体系的周期,有阻尼时的自振频率小于无阻尼时的自振频率，这说明由于阻尼的存在，将使结构 的自振频率减小，周期增大。,在实际结构中，阻尼比的数值一般都很小，其值大约 在之间。因此有 阻尼频率与无阻尼频率相差不大，在实际计算中可以近似地取,例题3-1,已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。,，,求该结构的自振周期。,解：直接由式,并采用国际单位可得:,3.方程的特解II瞬时冲量,冲量等于动量的增量,自由振动,求解方法：,将地面运动分解为很多个脉冲运动,时刻的地面运动脉冲,4.方程的特解III 一般强迫振动,引起的体系反应为：,叠加：体系在t时刻的地震反应为：,方程通解（单自由度体系）：,体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）,初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑,地面运动引起,地面运动脉冲引起的单自由度体系反应,杜哈密积分,在实际计算中可以近似地取,通解,3.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱,反应谱是指单自由度体系最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，根据反应量的 不同，又分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。由于结构所有的地震作用 （即质点上的惯性力）与质点运动的加速度直接相关，因此工程抗震领域，常采用 加速度反应谱计算结构的地震作用。,一、水平地震作用的定义,地震作用就是地震时结构上受到的惯性力,在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此 可以认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是真实作用于 质点上的力，但惯性力对结构的作用和地震对结构的作用效果相当，所以可以认为 是一种反映地震影响效果的等效力，利用它的最大值来对结构进行抗震验算，就可 以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。,上式等号右边的阻尼项 相对于弹性恢复力 来说是非常的小，可以忽略,质点的绝对加速度,由于地面运动的加速度是随时间而变化的，故为了求得结构在地震持续过程中所经受 的最大地震作用，以便用一进行抗震设计，必须计算出质点的最大绝对加速度，即,由上式可知，质点的绝对最大加速度取决于地震时的地面运动加速度，结构的自振 频率或自振周期以及结构的阻尼比。然而，由于地面水平运动的加速度极不规则， 无法用简单的解析式来计算，故在计算 时，一般采用数值积分法。,二、地震反应谱,根据上式，若给定地震时地面运动的加速度读记录和体系的阻尼比 ，则可以 计算出质点的最大加速度反应与自振周期的关系曲线，对于不同的阻尼比可以得到 不同的 曲线。图3-6是根据1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震时地面加速 度记录绘制的加速度反应谱曲线。 （TAFT波和天津宁河地震波 ）,图3-6 1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线,由图埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线可知加速度反应谱曲线有下 列特点：加速度反应谱曲线为一多峰点曲线；当阻尼比等于零时，加速度反 应谱的谱值最大，峰点越突出，即便是不大的阻尼比也能使峰点下降很多，并且 谱值随阻尼比的增大而减小；当结构的周期较小时，随着周期的增大其谱值急 剧增大，但至峰点后，则随着周期的增大其反应逐渐减小，而且逐渐平缓。,根据反应谱曲线，对于任何一个自由度弹性体系，如果已知其自振周期和结构的 阻尼比就可以从曲线中查得该体系在特定地震记录下的最大加速度Sa。Sa与质 点质量的乘积即为水平地震作用下的绝对最大值，即,三、标准反应谱,为了便于应用，在上式中引入能反应地面运动强弱的地面运动最大加速度， 并将其改写为下列形式,（1）地震系数,可知地震系数k为,它表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比。一般地，地面运动加速度越大， 则地震烈度越大，所以地震系数与地震烈度之间存在着意定的对应关系。如表3-1 所示。需要注意的是，地震烈度的大小取决于地面运动最大加速度，而且还与地震 的持续时间和地震波的频谱特性等有关。,表3-1地震系数k与地震烈度的关系,（2）动力系数 同样，由（3-31）可知动力系数为,它是单质点最大绝对加速与地面加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝 对加速度比地面最大加速度放大多少倍。因为当 增大或减小时， 相应随 之增大或减小，因此值 与地震烈度无关，这就可以利用所有不同烈度的地震记录 进行统计和计算。,这样就得到了 与 的关系曲线，称为 谱曲线，它实际上就是相对于地面最大 加速度的加速度反应谱，两者形状上完全一样。,根据不同的地面运动记录的统计分析可以看出，场地土的特点、震级以及震中距等 都对反应谱曲线有明显的影响。场地土特性的影响：对于土质松软的场地， 谱 曲线的主要峰点偏于较长的周期，而地质坚硬时则一般偏于较短的周期，同时，场 地土越软，并且该松软土层越厚时， 谱曲线谱值越大，见图3-7（a）；震中距 的影响：当烈度相同时，震中距远时加速度反应谱的峰点偏于较长的周期，近时则偏 于较短的周期，3-7（b）。因此，在离大地震震中较远的地方，高柔结构因其周期较 长所受到的地震破坏，将比在等烈度下较小或中等地震的震中地区所受的破坏严重， 而刚性结构的地震破坏情况则相反。,图3-7各种因素对反应谱的影响 （a）场地条件对 谱曲线的影响；（b）同等烈度下震中距对加速度谱曲线的影响,四、设计反应谱,为了便于计算，建筑抗震设计规范采用相对于重力加速度的单质点绝对最大 加速度，即 用 表示， 称为地震影响系数。由式（3-31）知,实际上就是作用于单质点弹性体系上的水平地震力与结构重力之比。,（1）地震影响系数的确定。建筑结构地震影响系数曲线(图3-8)的阻尼调整和形状参 数应符合下列要求：除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取0.05，地震影响系数曲 线的阻尼调整系数应按1.0采用，形状参数应符合下列规定：,图3-8地震影响系数 曲线,地震影响系数最大值,直线下降段的下降斜率调整系数；,曲线下降段的衰减指数；,特征周期；,阻尼调整系数；,结构自振周期,1直线上升段，周期小于0.1s的区段。 2)水平段，自0.1s至特征周期区段，应取最大值。 3)曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数应取0.02。,当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数 和形状参数应符合下列规定： 1）曲线下降段的衰减指数应按下式确定：,式中,曲线下降段的衰减指数；,阻尼比。,2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定：,直线下降段的下降斜率调整系数，小于0时取0。,3) 阻尼调整系数应按下式确定：,阻尼调整系数，当小于0.55时，应取0.55。,（2）特征周期Tg的确定。在地震影响系数的变化曲线中，需要用到特征周期。它是 对应于反应谱值区拐点处的周期，根据场地类别、地震震级和震中距确定。建筑抗 震设计规范按后两影响将设计地震分成三组，特征周期可以根据场地类别和设计地 震分组确定，如表3-2所示。但在计算8、9度汉语地震作用时，其特征周期应增加 0.05s。,表3-2特征周期（s）,（3）水平地震影响系数的最大值 水平地震影响系数的最大值为,建筑抗震设计规范取动力系数的最大值 ，相应的地震系数k对多遇地震 取基本烈度时的0.35，对罕遇地震取基本烈度时的2倍左右，故 如表3-3所示。,表3-3水平地震影响系数最大值,例题3-2,水塔结构，同例3-1。,，,位于II类场地第二组，基本烈度为7度 （地震加速度为0.10g),阻尼比,求该结构多遇地震下的水平地震作用,解；查表3-3，,查表3-2，,由图3-12（地震影响系数谱曲线）,此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。,返回目录,3.4 多自由度弹性体系的水平地震反应的振型分解法,一、计算简图,对质量比较集中的结构，一般可将其视为单质点体系，并按单质点体系进行结构的 地震反应分析。然而对于质量分布比较分散的结构，为了能较真实地反映其动力性 能，可将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析,图3-11 多质点体系,二、运动方程,图3-12两自由度体系得瞬时动力平衡 图3-13刚度系数,质点1作为隔离体,惯性力为：,弹性恢复力为,阻尼力,质点2作为隔离体，同理,式中 k11为使质点1产生单位位移而质点2不动时，在质点1处所施加的水平力； k12为使质点2产生单位位移而质点1不动时，在质点1处所施加的水平力； c11为使质点1产生单位速度而质点2不动时，在质点1处所施加的阻尼力； c12为使质点2产生单位速度而质点1不动时，在质点1处所施加的阻尼力；,kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数,运动方程写成矩阵的形式,当为一般的多自由度体系时，式中的各项为,三、自由振动,1、自振频率,微分方程组的解为,有非零解，其系数行列式必须为零,对于一般的多自由度体系,写成矩阵形式,频率方程,-振型方程,-频率方程,2、主振型,对于,对于,质点的位移为,振动过程中两质点的位移比值为,由此可见，这一比值不仅与时间无关，而且为常数。也就是说，在结构振动过程 中的任意时刻，这两个质点的位移比值始终保持不变。这种振动形式通常称为主 振型。当体系按 振动时称为第一振型或基本振型，按 振动时称为第二振型 。因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移 值定为1。一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型， 它们是体系的固有属性。,第1阶模态位移云图 第2阶模态位移云图,第3阶模态位移云图 第4阶模态位移云图,在一般的初始条件下，体系得振动曲线将包含全部振型。这可由自由振动方程 （3-79）的通解看出，该方程的特解见式（3-88）,其通解为这些特解的线性 组合，即：,在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合 振动，它不在时简谐振动，而且质点之间位移的比值也不再是常数，其值将随时 间而发生变化。,3、主振型的正交性,根据功的互等定理，即第一状态的力在第二状态的位移上所作的功，等于第二状态 的力在第一状态的位移上所作的功，得：,对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型j和k之间也都有着上述的正交性， 它们可以表示为,用矩阵表达,表示多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性，事实上，多自由度任意两个 振型对刚度矩阵也有正交性,等式两边各前乘,例3-3:计算图3.15（a）所示二层框架结构的自振频率和振型，并验算其主振型的 正交性。各层质量为 。第一层侧向刚度为 ，第一 层侧向刚度为,解，求框架各层的层间刚度系数：,由式（3-82），可得频率方程为,解上式得,由式（3-89）可得振型为,第一振型,第二振型,验算主振型的正交,对质量矩阵,对刚度矩阵,例题3-4,三层剪切型结构如图所示， 求该结构的自振圆频率和振型,解：该结构为3自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为,先由特征值方程求自振圆频率，令,得,或,由上式可解得,从而由,得,由自振周期与自振频率的关系,，可得结构的各阶自振,周期分别为,由,得,代入,校核,则第一阶振型为,同样可求得第二阶和第三阶振型为,为求第一阶振型，将,代入,将各阶振型用图形表示:,第一阶振型,第二阶振型,第三阶振型,振型具有如下特征:,对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图 上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 ),利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否,4、振型分解法,在一般的初始条件下，体系的振型曲线将包含全部振型，如两自由度体系。,如果用体系的振型作为基底，而用另一个函数q(t)作为坐标，就可以把联立方程 组变成几个独立的方程，每个方程只包含一个未知项。这样可以分别独立求解， 从而使计算简化。这一方法称为振型分解法，它是求解多自由度体系地震反应的 重要方法。,为简便起见，先考虑两自由度体系，如图3.16所示。将质点m1和m2在地震作用 下任一时刻的位移x1(t)和x2(t)用其两个振型线性组合来表示，即,这里用新坐标q1(t),q2(t)代替原有的两个几何坐标x1(t)、x2(t)。只要q1(t),q2(t) 确定，x1(t)、x2(t)也就可以确定，而q1(t),q2(t)实际上代表质点任一时刻的变位 中第一振型与第二振型所占的分量。由于x1(t)、x2(t)为时间的函数，所以q1(t), q2(t)也为时间函数，一般称为广义坐标。,当为多自由度体系时，上式可写成：,也可以写成下属矩阵的形式,体系的位移可以看成是由各振型乘以 相应的组合系数叠加而成，即将位移 按振型加以分解，故称为振型分解法,q为时间函数,阻尼矩阵的处理,振型关于下列矩阵正交：,刚度矩阵,阻尼矩阵,振型分解法的前提：,质量矩阵,无条件满足,采用瑞雷阻尼矩阵,令,可得,两边各项乘以,上式等号左边的第一项,根据振型对质量的矩阵的正交性，上式除了 一项外，其余项均为 零，故有,同理，利用振型对刚度矩阵的正交性，（3-96）式左边第三项也可写成,根据式（3-85），对于j振型有 ，故上式可以写成,对于式（3-96）等式右边的第二项，同理可写成：,综合得,令,则式（3-100）可写成,在式（3-103）中， 为对应于j振型的阻尼比，系数 通常根据第 一、第二振型的频率和阻尼比确定，即由式（3-103）得：,可以看出，式（3-103）与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程在形式上 基本相同，只是方程式（3-103）的等号右边多了一个系数 ，所以方程 （3-103）的解为：,或,将式（3-106）代入（3-94），得,上式就是振型分解法分析时，多自由度弹性体系在地震作用下其中任一质点mi位 移的计算公式。,式（3-108）中 的表达式见式（3-101），称 为体系在地震反应中第j振 型的振型参与系数。实际上，就是当 质点位移 时的 值。证明如下：,考虑两质点体系，令式（3-93）中的 ，得：,以 和 分别代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得,将上述两式相加，并利用振型的正交性，可得,同理，将 和 分别代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得：,故式（3-109）即可写成：,对于两个以上的自由度体系，还可写成一般关系式,3.5自振频率和振型的近似计算,在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和 振型，在进行最简单的计算（底部剪力法）时，也要计算结 构的基本周期。 结构自振周期的计算方法有： 1、理论与近似的计算 2、经验公式 3、试验方法等,一、矩阵迭代法（斯多都拉Stodola法）,体系按频率 振动时，其上各质点的位移幅值可分别表示为：,将上式写成矩阵形式，即为：,或,实际上，有结构动力学的知识知道，刚度矩阵和柔度矩阵互拟，式（3-113）也 可以用刚度矩阵表示为：,为了求得结构的频率和振型，就需要对式（3-113）进行迭代，其步骤如下：先假 定一个振型并代入上式等号右边，进行求解后可得到 和主振型的第一次近似值 ，再将第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 和主振型的第二次近似值， 如此下去，直至前后两次计算结果接近为止。当一个振型求得后，则可以利用正交 性求出较高次的频率和振型。,例3.5图3-17为三层框架结构，假定其横梁刚度无限大。各质量为 ，各层刚度分别为 。试用矩阵迭代法求解结构的频率和振型。,图3-17例3.2示意图 （a）结构体系 （b）第一振型 （c）第二振型 （d）第三振型,解： （1）柔度系数计算,（2）第一振型：设第一振型的近似值为 ，代入式（3-113）得：,则，第一振型的近似之为： ，再将此值代入（3-113）得：,将此值第三次代入（3-113）得：,从（a）式可以看出，最后一次振型与上一次的振型已经十分接近，因此结构的基 本振型可以确定为， ，如图3.17（b）所示。结构的基本频率 可以 由（a）的任一式求得，例如根据 可得,（3）第二振型：对于第二振型，由式（3-112）得,利用主振型的正交性，得,（b）,（c）,将（c）代入（b）中的第一和第二式得：,（d）,对（d）式进行迭代，先假定一个接近第二振型的位移，令 ，经两轮迭 代后得：,故，第二频率为：,再由式（c）得：,这样就可以求得第二主振型为,（4）第三振型：根据主振型的正交性，由上面得到的第一和第二主振型即可写出,将上两式展开得：,解上述联立方程组，得：,令,则,求第三频率，由式(3-112),得,不断调整所假定的形状,直到得到真 实的振动,然后计算振型频率,二、能量法,在采用矩阵迭代法求解多自由体系的频率和振型时，需要列出每一质点的运动 方程，并对方程组进行运算。因此，这种方法当质点较多时计算太繁。如果所求 的结构是基本频率，则采用能量法，或称为瑞雷法。能量法是根据体系在振动过 程中的能量守恒原理推导出来的，即一个无阻尼的弹性体系在自由振动时，其任 一时刻的动能与变形位能之和不变。当体系在振动过程中的位移达到最大时，其 变形位能将达到最大值Umax，而此时体系得动能为零；在经过平衡位置时，体 系的动能有最大值Tmax，而变形位能则等于零，故有,考虑一多质点体系在自由振动时其任一质点i的位移为,则其速度为,动能为,最大动能为,一般地，结构的基本振型可近似取当重力荷载作用于质点上的结构的弹性曲线。 因此，体系的最大变形位能为,将式（3-115）、（3-116）代入（3-114）得,而结构的基本周期为,例3.6图3-18为三层框架结构，假定其横梁刚度无限大。各质量为， ，各层刚度分别为 。试用能量法求解结构的频率和振型。,图3-18 例3.3示意图,解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（b）,结构的层间位移为：,各层位移为：,则体系的基本频率为：,相应的基本阵型为：,例题3-7,采用能量法求结构的基本周期,解：各楼层的重力荷载为,将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力:,则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为：,基本周期：,与精确解T1=0.433s的相对误差为-2,三、等效质量法,在求多自由度体系的基本频率时，为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质 量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称为等效质量。 如图3.19所示的悬臂体系，有两单自由度体系频率相等，则：,图3.19 等效质量法,由上式可得等效质量为：,设体系原有n个集中质量，则可将每个质量都按上式所示的转换关系转换到j点，j点 的总的等效质量之和，即：,故体系的基本频率为：,例3.8用等效质量法计算图3-20（a）所示单层厂房排架结构的基本频率。已知屋盖 质量为M，两边吊车质量 ，作用于柱高4/5处，设柱为等截面柱，两柱沿单位长 度的质量为 ，弯曲刚度为EI。,图3-20 例3.8示意图,解 （1）求吊车梁在柱顶的等效质量：,则吊车量在柱顶的等效质量为：,（2）柱均布质量在柱顶的等效质量：,（3）作用于柱顶的总等效质量：,（4）该结构的基本频率：,四、顶点法,顶点位移法是根据在重力荷载水平作用时算得的顶点位移来求解基本频率的一种方法。,图3-21 结构的顶点位移,考虑一等质量均匀的悬臂直杆图3-21，若杆按弯曲振动，则基本周期可按下式计算,若杆按剪切振动，则：,上述悬臂杆在均布荷载 作用下，由弯曲和剪切引起的顶点位移分别为：,得,若体系按弯剪振动，则基本周期按下式计算：,3.6多自由度体系的水平地震反应,一、振型分解反应谱法,多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是质点的地震作用。若不考 虑扭转耦联，质点i上的地震作用为：,根据式,可以写成,又由式 得：,作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值为,令,上式可写为,求出了j振型i质点上的地震作用Fji后，就可以计算结构的地震效应Sj，这里的Sj也 是最大值，但任一时刻某一振型的地震作用达到最大值时，其他振型的地震作用和效 应并不一定也达到最大值。则结构的总地震作用效应近似采用“平方和开方”的方法确 定，即,例题3-7,三层剪切型结构如图。,结构处于8度区（地震加速度为0.20g），I类场地第一组， 结构阻尼比为0.05。试采用振型分解反应谱法， 求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。,已知,解：由,得,查 表3-2(特征周期值表) 、3-3（水平地震影响系数最大值表）得：,表3-2特征周期值 Tg(s),表3-3水平地震影响系数最大值,返回,则（参见图3-12地震影响系数谱曲线）,由,得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为,图3-12 地震影响系数谱曲线,返回,第二振型各质点水平地震作用为,第三振型各质点水平地震作用为,则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为,通过振型组合求结构的最大底部剪力为,若仅取前两阶振型反应进行组合,由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为,通过振型组合求结构的最大顶点位移,若仅取前两阶振型反应进行组合,注意,振型分解反应谱法计算结构最大地震反应易犯错误： 先将各振型地震作用组合成总地震作用，然后用总地震作用计算结构总地震反应,正确的计算次序： 先由振型地震作用计算振型地震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应,以本例底部剪力结果加以说明：,若先计算总地震作用，则各楼层处的总地震作用分别为,按上面各楼层总地震作用所计算的结构底部剪力为,与前面正确计算次序的结果相比，值偏大,原因:,振型各质点地震作用有方向性，负值作用与正值作用方向相反，,而按平方和开方的方法计算各质点总地震作用，没有反映振型各质点地震作用方向性的影响。,振型组合时振型反应数的确定,结构的低阶振型反应大于高阶振型反应,振型反应的组合数可按如下规定确定,不需要取结构全部振型反应进行组合,（1）一般情况下，可取结构前2-3阶振型反应进行组合，但不多于结构自由度数,（2）当结构基本周期,时或建筑高宽比大于5时,可适当增加振型反应组合数,结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反应对结构总地震反应的贡献较小,振型阶数越高，振型反应越小,由于地震影响系数在长周期段下降较快，对基本周期大于3.5s的结构，根据上述振型分解反应谱法计算得到的水平地震作用下的结构效应较小，特别是对长周期结构，地震动态作用中的地面运动加速度和位移可能结构的破坏具有更大影响，上述方法无法对此作出评估，规范出于结构安全考虑规定：在进行结构抗震验算时，结构任一楼层的水平地震剪力应符合下式要求,VEKi -第i层对应与水平地震作用标准值的楼层剪力；,Gj -第j层的重力荷载代表值。,-剪力系数，不应小于下表数值，对竖向不规则结 构的薄弱层，尚应乘以1.15的增大系数；,表3-4 楼层最小地震剪力系数值,注：1基本周期介于3.5s和5s之间的结构，可插入取值； 2括号内数值分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.30g的地区。,二、底部剪力法,用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近似的方法？前面的例题中发 现，总的地震作用效应与第一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力 作为结构的地震剪力的方法称为底部剪力法。对于高度不超过40m，以剪切 变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结 构，可以采用底部剪力法。,1）结构底部剪力 多质点体系在水平地震作用下任一时刻的底部剪力为：,在设计时取用其时程曲线的峰值，即：,上式计算过于繁琐，为了简化，根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个 与其基本周期相等的单质点体系代替。这样底部剪力可以用单自由度体系的公式 进行计算：,相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数，对于多层砌体房屋、底部框架 底部框架砌体房屋，可取水平地震影响系数最大值； Geq为结构等效总重力荷载：,规范规定对于单质点体系，取,对于多自由度体系,2）质点的地震作用 在求得结构的总水平地震作用后，就可将它分配于各个质点，以求得各质点上的 地震作用。对于重量和刚度沿高度分布比较均匀、高度不大，并以剪切变形为主的结 构物，其地震反应以基本振型为主，而且基本振型接近于直线，呈倒三角形，如图 3.22所示。,图3-22底部剪力法 （a）底部剪力及质点的水平地震作用（b）倒三角形基本振型（c）顶点附加水平地震作用,若按此假设将总水平地震作用进行分配，则根据式（3-133），质点i的水平地震 作用3-22(a)为,当振型为倒三角形时,由此可得,3）顶部附加地震作用计算,公式（3-139）适用于基本周期 的结构，Tg为特征周期。对于某些基本周 期较长的建筑物，上部结构震害较为严重。规范规定：对于结构基本周期 的建筑，取顶部水平地震作用以集中力的形式加在结构的顶部加以修正为：,采用底部剪力法计算时，各楼层可考虑一 个自由度，则质点i的水平地震作用标准值 为：,多层钢筋混凝土和钢结构房屋,其他房屋可采用0.0,4）突出屋面附属结构地震内力的调整,震害表明，突出屋面的屋顶间（电梯机房、水箱间）、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面的主体结构严重。,原因是由于突出屋面的这些结构的质量和刚度突然减小，地震反应随之增大。-鞭端效应。,抗震规范规定：采用底部剪力法时，突出屋面的屋顶间、女儿墙、烟囱等的地震作用效应，宜乘以增大系数3。此增大部分不应向下传递，但与该突出部分相连的构件应计入。,鞭端效应又叫鞭梢效应，是指高层建筑物末端形状和刚度发生变化时，端部产生的力和变形突然增大，远远大于其按重力分配到得地震荷载，是高层建筑结构抗震设计考虑的重要方面。 并不是所有高层都有鞭梢效应，只有在靠近顶端处建筑物体形发生很大变化（一般是收缩），才会像鞭子那样形成一个鞭梢，进而产生鞭梢效应，这也是高层在设计立面是要求上下一致，变化不要太大的原因。其实就是当地震时，高层建筑里，只要底下轻轻一晃，高层就会很剧烈地震动.,四、底部剪力法应用举例,例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,类场地,设计地震分组为第二组。,解：,（1）计算结构等效总重力荷载代表值,（2）计算水平地震影响系数,查表得,（2）计算水平地震影响系数,（3）计算结构总的水平地震作用标准值,（6）计算各层的层间剪力,例2：六层砖混住宅楼，建造于基本烈度为8度区，场地为类，设计地震分组为第一组，根据各层楼板、墙的尺寸等得到恒荷和各楼面活荷乘以组合值系数，得到的各层的重力荷载代表值为G1=5399.7kN, G2=G3=G4=G5=5085kN, G6=3856.9kN。试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。,由于多层砌体房屋中纵向或横向承重墙体的数量较多， 房屋的侧移刚度很大，因而其纵向和横向基本周期较短，一般均不超过0.25s。所以规范规定，对于多层砌体房屋，确定水平地震作用时采用 。并且不考虑顶部附加水平地震作用。,例2：基本烈度为8度，场地为类，设计地震分组为第一组，G1=5399.7kN, G2=G3=G4=G5=5085kN, G6=3856.9kN。计算各层地震剪力标准值。,解：,结构总水平地震作用标准值,各层水平地震剪力标准值,各层水平地震作用,67320.9,21328.82,33815.25,47544.75,61274.25,75003.75,306269.72,884.5,985.7,805.3,624.8,444.4,280.4,4025.1,884.5,1870.2,2675.5,3300.3,3744.7,4025.1,29596.6,例3：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为8度区，场地为类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图所示。结构的基本周期为0.56s,试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。,解：,结构总水平地震作用标准值,顶部附加水平地震作用,顶部附加水平地震作用,各层水平地震作用,各层水平地震剪力标准值,例4,三层剪切型结构。,结构处于8度区（地震加速度为0.20g），I类场地第一组，结构阻尼比为0.05。,试采用底部剪力法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。,已知：,解：由,而结构总重力荷载为,则结构的底部剪力为,已知,设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则需考虑结构顶部附加集中作用,查 表3-4（顶部附加地震作用系数表）得,则,又已知,表3-4 结构顶部附加地震作用系数,返回,则作用在结构各楼层上的水平地震作用为,由此得结构的顶点位移为,与振型分解反应谱法 的计算结果很接近,一、产生扭转地震反应的原因,3.6 建筑结构的扭转地震效应,1.建筑结构的偏心,两方面：建筑自身的原因和地震地面运动的原因。,质心,刚心,产生偏心的原因：,a.建筑物的柱体与墙体等抗 侧力构件布置不对称。,b.建筑物的平面不对称。,c.建筑物的立面不对称。,d.建筑物的平面、立面均不对称。,e.建筑物各层质心与刚心重合， 但上下层不在同一垂直线上。,f.偶然偏心。,2.地震地面运动存在扭转分量,地震波在地面上各点的波速、周期和相位不同。建筑结构基底将产生绕竖直轴的转动，结构便会产生扭转振动。,无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭转振动均是存在的。,但二者有区别，无偏心结构的平动与扭转振动不是耦合的，而有偏心结构的平动与扭转振动是耦合的。,二、考虑扭转地震效应的方法,1、规则结构不进行扭转耦联计算时，平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应宜乘以增大系数。一般情况下，短边可按1.15、长边可按1.05采用；当扭转刚度较小时，宜按不小于1.3采用。,2、采用扭转耦联的振型分解反应谱法。,1、考虑扭转地震效应时水平地震作用标准值的计算公式:,-分别为j振型i层的x、y方 向的水平相对位移；,-为j振型i层的相对扭转角；,-j振型周期Tj对应的地震 影响系数；,-i层转动半径；,三、考虑扭转的振型分解反应谱法,-考虑扭转的j振型参与系数；,仅考虑x方向地震时,仅考虑y方向地震时,与x方向斜交地震时,地震作用方向与x轴方向夹角,2、考虑扭转影响的水平地震作用效应,考虑双向水平地震作用下扭转的地震作用效应,3.7 竖向地震作用,在烈度较高的震中区，竖向地震对结构的破坏也会有较大影响。 烟囱等高耸结构和高层建筑的上部在竖向地震的作用下，因上下振动，而会出现受拉破坏 对于大跨度结构，竖向地震引起的结构上下振动惯性力，相当增加结构的上下荷载作用。,抗震规范（GB500112001）规定,设防烈度为8度和9度区的大跨度屋盖结构、长悬臂结构、烟囱及类似高耸结构和设防烈度为9度区的高层建筑，应考虑竖向地震作用,震害调查表明,结构竖向地震动力特性,分析表明，各类场地的竖向地震反应谱和水平反应谱相差不大如图 所示。因此，在竖向地震作用计算时可近似采用水平反应谱。另据统计，地面竖向最大加速度与地面水平最大加速度比值为1/22/3 之间，对震中距较小地区宜采用较大数值。另外竖向第一振型周期较短，一般0.1s-0.2s之间，地震影响系数落在反应谱曲线的平台区段。,规范规定竖向地震影响系数的最大值取水平地震影响系数的0.65倍,当n较大时，规范规定统一取,先确定结构底部总竖向地震作用,一、高耸结构及高层建筑,再计算作用在结构各质点上的竖向地震作用,结构总竖向地震作用标准值,质点i的竖向地震作用标准值,类似于水平地震作用的底部剪力法,按各构件承受的重力荷载代表值的比例分配，乘以1.5的竖向地震动力效应增大系数,计算竖向地震作用效应:,二、大跨度结构,竖向地震作用标准值,重力荷载标准值,竖向地震 作用系数,根据对大跨度的平板钢网架和标准屋架以及大跨结构竖向地震 作用振型分解法的分析表明，竖向地震作用的内力和重力荷载作用下的内力比值，一般比较稳定。因此，抗震规范规定，对平板型网架屋盖、跨度大于24m 屋架、长悬臂结构及其他大跨度结构的竖向地震作用标准值，可用静力法计算：,竖向地震作用系数：,1.平板型网架和跨度大于24m屋架，按下表取值：,括号中数值 用于设计基本 地震加速度为 0.30g 的地区,2.长悬臂和其他大跨度结构,8度时取,9度时取,返回目录,3.7 地基与结构的相互作用,1、地基与结构的相互作用对结构地震反应的影响,在对建筑结构进行地震反应分析时，通常假定地基是刚性的图3.29（a）。 实际一般地基并非刚性，故当上部结构的地震作用通过基础反馈给地基时， 地基将产生一定的局部变形，从而引起结构的移动或摆动图3.29（b）， 这种现象称为地基与结构的相互作用。,图3.29 地基变形引起的结构振动 （a）刚性地基 （b）软弱地基,结构与支承他的地基之间存在着相互作用，主要表现在：结构对地基的反馈作用：改变了地基运动的频谱组成，使得接近结构自振频率的分量获得加强。同时也改变了地基振动的加速度度幅值，使其小于相邻自由场地的加速度幅值。地基变形对结构的影响：地基愈柔，结构的基本周期延长；结构的振动衰减愈大（阻尼、位移愈大）。 当地基刚度比上部结构刚度大得多时，这两种作用趋于消失。,2、考虑地基结构相互作用的抗震设计,结构的抗震计算在一般情况下可不考虑地基与结构的相互作用。但对于建造在8度和9度、或类场地上，采用箱基、刚性较好的筏基或桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑，当结构的基本周期处于特征周期的1.2 5倍范围内时，可考虑地基与结构动力相互作用的影响。对采用刚性地基假定计算的水平地震剪力按下列规定予以折减，并且其层间变形也应按折减后的楼层剪力计算。 （1）、高宽比小于3的结构，各楼层地震剪力的折减系数可按下式计算：,表3-7附加周期,（2）高宽比大于3的结构，底部的地震剪力按上述规定折减，但顶部不折减 。中间按线性插入。,3.8 结构非弹性地震反应分析,在罕遇地震（大震）下，允许结构开裂，产生塑性变形，但不允许结构倒塌,为保证“大震不倒”，需进行结构非弹性地震反应分析,结构进入非弹性变形状态后，刚度发生变化， 这时结构弹性状态下的动力特征（自振频率和振型）不再存在,因此，振型分解反应谱法或