计算机图形学04：自由曲线和曲面.ppt

第4讲：自由曲线和曲面,第四章：自由曲线和曲面,参数样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 自由曲面,概 述,从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性： 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。 （3）易于定界 （4）统一性： 统一的数学表示，便于建立统一的数据库,概 述,标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x) z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = x(t) y(t) 空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t),插值、逼近和拟合,插值严格通过已知型值点 逼近近似地地接近已知型值点 拟合以上两种方法统称,插值,逼近,自由曲线曲面的发展过程,目标：美观，且物理性能最佳 1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片 19641967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法,参数表示的好处,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义,1 参数样条曲线,曲线的三种坐标表示法 直角坐标表示 1) 显式： y = f (x) 如 y = sin (x) 2) 隐式： f (x, y) = 0,参数坐标表达式,1 参数样条曲线,极坐标表示 对于任一坐标曲线 ，坐标变换关系式： 例：阿基米德螺线：,1 参数样条曲线,参数坐标表示 例：弹道曲线：,1 参数样条曲线,二次参数样条曲线或曲面 三次参数样条曲线或曲面 参数样条曲线术语 型值点和控制点 型值点或控制点的个数 = 曲线次数+1 切线、法线和曲率 切线是一阶导数，曲率是二阶导数,1 参数样条曲线,2. 切线、法线和曲率 曲率公式,+d,d,M,Q,ds,x = x ( t ), y = y ( t ), t 0, 1 z = z ( t ), 矢量形式： P = P ( t ), t 0, 1 P ( t ) 的 k 阶导数,1 参数样条曲线,对 t = t0，若 P(t0) = x(t0), y(t0),z(t0)T 0， 则称 P(t0)为正则点。 正则点的几何意义是什么？,1 参数样条曲线,导数的意义是 P对t 的变化率， P(t0) = 0 意味着 P 在t0处为水平线。,切矢量,曲线弧长,法矢量,曲率,T(s),P(s),P(s+s),T(s +s),R,Q,参数连续性和几何连续性,0阶参数连续性 C 0连续性 如：折线 1阶参数连续性 C 1连续性 如：直线 2阶参数连续性 C 2连续性 如：圆、抛物线、双曲线,3 三次Hermite曲线,定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线,三次Hermite曲线,矩阵表示 条件,三次Hermite曲线,合并 解,三次Hermite曲线,基矩阵与基函数（调和函数）,24,三次Hermite曲线,形状控制 改变端点位置矢量P0, P1 调节切矢量 R0, R1 的方向 调节切矢量 R0, R1 的长度 Heimite插值曲线并不唯一，需要给出端点条件,三次插值样条曲线的端点条件,二次插值样条需要四个条件。 在全部点列Pi(i=1,2,n)中，得到n-3段曲线：,P0和Pn+1的不同会导致不同的曲线,三次插值样条曲线的端点条件,三次插值样条的端点条件（常用）。 已知两端的切矢P1和Pn 自由端条件 形成封闭曲线 ,P0,P1,P2,Pn,Pn,Pn+1,P1,Pn,27,三次Hermite曲线,优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点： 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计,28,三次Hermite曲线,优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点： 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计,Bezier曲线表达式 二次Bezier曲线： P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2 三次Bezier曲线： P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 +t3P3,3 Bezier曲线,Bezier曲线,1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 用于汽车设计的UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用,Bezier曲线,Bezier基函数-Bernstein多项式的定义,32,Bezier曲线,Bezier基函数-Bernstein多项式的定义,33,Bezier曲线,Bernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式,34,Bezier曲线,导数 积分 最大值 在t = i/n处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基,35,Bezier曲线,Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形,36,Bezier曲线,对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变,37,Bezier曲线,凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内,38,Bezier曲线,多值性,39,Bezier曲线,二次Bezier曲线 n=2 抛物线,40,Bezier曲线,三次Bezier曲线 n=3,41,缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活,Bezier曲线,42,4 B样条曲线,产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便,43,B样条曲线,定义： 给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,m+n)，称n次参数曲线 为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性,44,B样条曲线,为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段 基函数为B样条函数,45,B样条曲线,二次B样条 n=2 抛物线,46,B样条曲线,三次B样条 n=3,B0,B1,B2,B3,47,B样条曲线,三次B样条的C2连续性 如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？,P4,B-样条曲线表达式 与Bezier样条相比的优点： 1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-样条允许曲线和曲面可以局部控制。 B-样条的基函数比Bezier的基函数更为复杂。,4 B-样条曲线,B-样条基函数,4 B-样条曲线,i = 0, 1, n,B-样条曲线 局部性、凸包性、直线再生性、 分段参数多项式曲线、连续性、 导数曲线、仿射不变性、平面保型性,4 B-样条曲线,非均匀有理B样条(NURBS) 一条k阶（k-1次）非均匀有理B样条 其中Ri(i=1,2,n)为控制顶点，hi(i=1,2,n)称为权或权因子，分别与控制顶点相联系。其中首、末权因子大于零，其余权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向量是一般非均匀的。当所有权因子均为1时，NURBS曲线就成为B样条曲线。,5 非均匀有理B样条,对标准的解析形状（如圆锥曲线、二次曲面、回转面等）和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二次曲线曲面的表示是精确的。 由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。 计算稳定且速度较快。 NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的。 NURBS是非有理B样条形式以及Bezier形式的合适的推广。,NURBS的特点,4 自由曲面,参数曲面的概念 P(u,w) = x(u,w), y(u,w), z(u,w) 0 u,w 1,0,1,1,u,w,(u,w),P(0,0),P(0,w),P(0,1),P(u,0),P(1,1),P(1, w),P(1, 0),P(u, 0),P(u,w),u和w向切矢： 四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). 混合偏导矢（扭矢）： 四个角点的扭矢为： Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1),三次曲面的数学表示,双三次曲面片的代数形式为 其矩阵表达式为 P(u,w) = UAWT 其中,1. 孔斯（Coons）曲面,由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢（扭矢）确定曲面。,P(0,0),P(0,w),P(0,1),P(u,1),P(1, w),P(1, 0),P(u, 0),P(1,1),P(u,w),Coons曲面的特点：,属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为： 在曲面设计的初级阶段，需要不断地修改型值点的位置。所以对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合理的。 由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因此难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制。 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测。,2. Bezier曲面,用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。 可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画；P(u,w)是对控制网格的逼近。,Bezier曲面的特点：,Bezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它先通过控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。 这种方法不具有局部性，即修改任意一个控制顶点都会影响整张曲面的形状。,B样条曲面,用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面。 注意:Ni,3(t)为3次均匀B样条基函数,B样条曲面的特点：,B样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它用B样条基函数代替Bezier方法中的Bernstein基函数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了Bezier曲面设计方法几乎所有优点的同时，解决了Bezier曲面设计中存在的局部性