2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理北师大版.docx

第三节圆的方程考纲传真1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2y2r2.2以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0. ()答案(1)(2)(3)(4)2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22D由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x1)2(y1)22，故选D3方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1 Bm或m1Cm Dm1B由16m220m40得m或m1.故选B4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) Da1A由题意可得(1a)2(1a)24，即1a1.故选A.5(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.圆的方程【例1】(1)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，则圆E的标准方程为()A.2y2B2y2C.2y2 D2y2(2)过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24(1)C(2)C(1)设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得x2y2x10，即2y2.故选C.(2)圆心在直线xy20上，设圆心坐标为(a,2a)圆的半径r，解得a1，r2，圆的方程为(x1)2(y1)24.故选C.规律方法求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 (1)(2018合肥二模)已知圆C：(x6)2(y8)24，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A(x3)2(y4)2100 B(x3)2(y4)2100C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225(2)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_(1)C(2)(x2)2(y1)24(1)由题意可知圆心C为(6,8)，则以OC为直径的圆的方程为(x3)2(y4)225.故选C.(2)设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.与圆有关的最值问题【例2】已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.母题探究(1)(变化结论)在本例的条件下，求yx的最大值和最小值(2)(变换条件)若本例中条件“点Q(2,3)”改为“点Q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解(1)设yxb，则xyb0.当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值为9，最小值为1.(2)圆心C(2,7)到直线3x4y10上动点Q的最小值为点C到直线3x4y10的距离，|QC|mind7.又圆C的半径r2，|MQ|的最小值为72.规律方法与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 (1)设P(x，y)是曲线x2(y4)24上任意一点，则的最大值为()A.2 BC5 D6(2)一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路径的长是()A4 B5C31 D2(1)A(2)A(1)的几何意义为点P(x，y)与点A(1,1)之间的距离易知点A(1,1)在圆x2(y4)24的外部，由数形结合可知的最大值为22.故选A.(2)由题意可得圆心C(2,3)，半径r1，点A关于x轴的对称点A(1，1)，求得|AC|5，故最短路径为|AC|r514，故选A.与圆有关的轨迹问题【例3】(2019衡水调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解 动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y24C(2x3)24y21 D2y2C设中点M(x，y)，则动点A(2x3,2y)点A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故选C.1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3A圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,62(2015全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)