河南省六市2019届高三数学第一次联考试题理（含解析）.docx

河南省六市2019届高三第一次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，得：，则，故选C.2.设复数，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案详解】解：，故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】4.我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经缉古算经等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为由古典概型概率公式可得故选A点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解5.已知函数，则“a =0”是“函数为奇函数的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若，则，则，则，即是奇函数，即充分性成立，若函数是奇函数，则满足，即，则，即必要性成立，则“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为故选：D【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题7.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到的取值范围后可得结果详解：由题意得，故选A点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围），然后再比较大小8.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，则函数在上最小值为故选9.已知变量x、t满足约束条件，则目标函数的最大值是A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】先画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时z最大，求出z的最大值即可【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得，显然直线过时z最大，z的最大值是6，故选：D【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac16，代入三角形的面积公式可得最大值【详解】在ABC中，（2ac）cosBbcosC，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，约掉sinA可得cosB，即B，由余弦定理可得16a2+c22accosBa2+c2ac2acac，ac16，当且仅当ac时取等号，ABC的面积SacsinBac故选：A【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得因此 所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可【详解】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数，令，则，可知当时，是单调减函数，并且，即，则，时，函数是单调增函数，则，则不等式的解集就是的解集，即 又x1,所以，故不等式的解集为：故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，与的夹角为，若，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据的坐标可求出，进而求出，从而可求出，从而得出在方向上的投影为【详解】解：，的夹角为；，且；在方向上的投影为：故答案为：【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角的余弦公式14.在的展开式中，常数项为_【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项15.已知双曲线，焦距为2c，直线l经过点和，若到直线l的距离为，则离心率为_【答案】【解析】【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍【详解】解：直线l的方程为，即为，到直线l的距离为，可得：，即有，即，即，由于，则，解得，或由于，即，即有，即有，则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题16.如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是_【答案】【解析】【分析】推导出，平面ABC，从而，当时，B与D重合，当时，由此能求出AH的取值范围【详解】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，平面ABC，当时，B与D重合，当时，为直角边BC上的一点，的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列前n项和为，且满足，试确定r的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；在的条件下，设，求数列的前n项和【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由已知令n=1即可求得；当n2时，与已知式作差得，即从而可知欲使an为等比数列，则，从而可求出r的值，进而可写出数列an的通项公式；（）由（）可得，从而，按n小于6和大于等于6讨论可求出数列的前n项和Tn试题解析：（）解：当n = 1时，1分当n2时，与已知式作差得，即欲使an为等比数列，则，又，5分故数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以6分（）解：，若，9分若,，12分考点：1等比数列的概念及通项公式；2等差数列的前n项和.18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率【答案】（）甲、乙、丙三个部门分别抽取2、3、2人；（）详见解析；【解析】【分析】利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望和方差基本事件总数，事件A包含的基本事件个数，由此能求出事件A发生的概率【详解】解：某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查应从甲部门的员工中抽取：人，乙部门的员工中抽取：人，丙部门的员工中抽取：人由题意得X的可能取值为0，1，2，3，随机变量X的分布列为：X0123P，抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查基本事件总数，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数，事件A发生的概率【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，且，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且平面BEC求证：平面平面ADE；求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】延长AD，BC相交于F，连接EF，证明面ABE，即可证明平面平面ADE；根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角的平面角的余弦值【详解】证明：直角梯形ABCD中，延长AD，BC相交于F，则，连接EF，三角形BCE为等边三角形，是直角三角形，则，平面，平面BEC.，面ABE，面ADF，平面平面ADE；由知面ABE，则，则是二面角平面角，设，则，则，即二面角的平面角的余弦值是【点睛】本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键20.已知椭圆C：的两个焦点分别为，点P是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数求椭圆C的方程；设点，过点P作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值【答案】（）；（）详见解析.【解析】【分析】利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出a，b，然后求解椭圆方程直线，的斜率存在，设为，直线，与圆相切，则有，直线的方程为直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可【详解】解：双曲线的离心率为，可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，又椭圆方程为；证明：显然两直线，的斜率存在，设为，由于直线，与圆相切，则有，直线的方程为，联立椭圆方程，消去y，得，M为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，而，直线MN的斜率【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题21.已知函数判断的单调性；求函数的零点的个数；令，若函数在内有极值，求实数a的取值范围【答案】（1）单调递增;（2）2；（3）【解析】试题分析：（）判断零点的个数问题，一般利用函数的单调性，然后判断极大值、极小值的正负情况，从而判断出个数；当在给定区间上单调递增或单调递减时，常利用零点的存在性定理判断有无零点，此时最多一个（）函数在某区间上有极值即导数等于零在区间上存在变号零点，从而转化为方程有解问题或函数图像与x轴的交点问题试题解析：（），为的一个零点当时，设，在单调递增又，故在内有唯一零点因此在有且仅有2个零点（）定义域是则设，要使函数在内有极值，则有两个不同的根，得或，且一根在，不妨设，又，由于，则只需，即解得考点：函数零点个数的判断问题；由函数有极值作为条件求参数范围【方法点睛】对于函数在某区间内有极值求参数范围题目，首先应做好等价转化，如本题转化为有两不等根接下来有两种思路：（1）把参数移到一边转化为形如的形式，则问题等价于直线与曲线有两个交点，利用数形结合去求解；（2）不移项，利用一元二次方程根的分布去求解，但当不是一元二次函数时，问题复杂，可能要讨论22.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求的面积试题解析：（1）曲线的极坐标方程为：