《切线长定理》教学设计

切线长定理 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点. 难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来. 2、教法建议 本节内容需要一个课时. (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中,以“观察猜想证实剖析应用归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学. 教学目标 1.理解切线长的概念,把握切线长定理; 2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度. 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: (一)观察、猜想、证实,形成定理 1、切线长的概念. 如图,P是O外一点,PA,PB是O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到O的切线长. 引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系. 3、猜想 引导学生直观判定,猜想图中PA是否等于PB. PA=PB. 4、证实猜想,形成定理. 猜想是否正确。需要证实. 组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证实PA=PB. 想一想:根据图形,你还可以得到什么结论? OPA=OPB(如图)等. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 5、归纳: 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究 如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点.直线OP交O于点D,E,交AP于C (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的相似三角形; (4)写出图中所有的等腰三角形. 说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础. (二)应用、归纳、反思 例1、已知:如图,P为O外一点,PA,PB为O的切线, A和B是切点,BC是直径. 求证:ACOP. 分析:从条件想,由P是O外一点,PA、PB为O的切线,A,B是切点可得PA=PB,APO=BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB. 从结论想,要证ACOP,假如连结AB交OP于O,转化为证CAAB,OP AB,或从OD为ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法. 证法一.如图.连结AB. PA,PB分别切O于A,B PA=PBAPO=BPO OP AB 又BC为O直径 ACAB ACOP (学生板书) 证法二.连结AB,交OP于D PA,PB分别切O于A、B PA=PBAPO=BPO AD=BD 又BO=DO OD是ABC的中位线 ACOP 证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E PA,PB分别切O于A、B PA=PB OP AB = C=POB ACOP 反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力. 例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等. (分析和解题略) 反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补. P120练习: 练习1填空 如图,已知O的半径为3厘米,PO=6厘米,PA,PB分别切O于A,B,则PA=_,APB=_ 练习2已知:在ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,AD和CE的长. 分析:设各切线长AF,BD和CE分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果. (解略) 反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力. (三)小结 1、提出问题学生归纳 (1)这节课学习的具体内容; (2)学习用的数学思想方法; (3)应注重哪些概念之间的区别? 2、归纳基本图形的结论 3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法. (四)作业 教材P131习题7.4A组1.(1),2,3,4.B组1题. 探究活动 图中找错 你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗? 在图2中,P1A为O1和O3的切线、P1B为O1和O2的切线、P2C为O2和O3的切线. 提示:在图1中,连结PC、PD,则PC、PD都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点O应在圆上. 在图2中,设P1A=P1B=a,P2B=P2C=b,P3A=P3C=c,则有 a= P1A= P1P3 P3A= P1P3 c c= P3C= P2P3 P3A= P2P3 b a= P1B=